1. Аксиома параллельных прямых. Следствия. 2. Сформулируйте и докажите утверждение о признаке равенства прямоугольных треугольников по двум катетам. 3. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС внешний угол при вершине С равен 123°. Найдите величину угла ВАС. Ответ дайте в градусах.

Решение:

1. Аксиома параллельных прямых (Постулат Евклида): Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит не более одной прямой, параллельной данной.

Следствия из аксиомы:

• Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны между собой.
• Если секущая перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой.
• Через любую точку плоскости проходит ровно одна прямая, параллельная данной прямой.
2. Признак равенства прямоугольных треугольников по двум катетам: Если два катета одного прямоугольного треугольника соответственно равны двум катетам другого, то такие треугольники равны.

Доказательство:

Пусть у нас есть два прямоугольных треугольника ABC и A'B'C' с прямыми углами C и C' соответственно. Пусть AC = A'C' и BC = B'C' (катеты равны).

По второму признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), так как AC = A'C', BC = B'C' и ∠C = ∠C' = 90°, то △ABC = △A'B'C'.

3. В равнобедренном △ABC с основанием АС, внешний угол при вершине С равен 123°.

Внутренний угол ∠BCA смежен с внешним углом, поэтому:

∠BCA = 180° - 123° = 57°.

Так как △ABC равнобедренный с основанием АС, то углы при основании равны:

∠BAC = ∠BCA = 57°.

Ответ: 57°.