1. Аксиомы стереометрии и некоторые следствия из аксиом 2. Синус, косинус, тангенс и котангенс. Основные формулы. 3. Вычислить производную функции f(x)=x⁴-6x²+4 в точках х=1, x=2 4. Решить уравнение sin(x/3) = √2 / 2

1. Аксиомы стереометрии и некоторые следствия из аксиом

В этом пункте обычно перечисляются основные постулаты, определяющие свойства пространства и взаимное расположение фигур в нем. К ним относятся:

• Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и только одна.
• Через любую прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и только одна.
• Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и только одна.
• Если две плоскости имеют общую точку, то их пересечение есть прямая.

Следствия из аксиом описывают более сложные утверждения, вытекающие из этих базовых положений, например, о пересечении плоскостей, параллельности прямых и плоскостей.

2. Синус, косинус, тангенс и котангенс. Основные формулы.

Эти понятия являются основными тригонометрическими функциями, определяемыми для углов в прямоугольном треугольнике или на единичной окружности.

• Синус (sin α): отношение противолежащего катета к гипотенузе.
• Косинус (cos α): отношение прилежащего катета к гипотенузе.
• Тангенс (tg α): отношение противолежащего катета к прилежащему, или \[ tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \]
• Котангенс (ctg α): отношение прилежащего катета к противолежащему, или \[ ctg \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \frac{1}{tg \alpha} \]

Основные формулы:

• Основное тригонометрическое тождество: \[ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \]
• Формулы приведения (например, \[ \sin(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \cos \alpha \] \[ \cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \sin \alpha \] \[ \sin(\pi - \alpha) = \sin \alpha \] \[ \cos(\pi - \alpha) = -\cos \alpha \]
• Формулы для суммы и разности углов (например, \[ \sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta \] \[ \cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta \]
• Формулы двойного угла (например, \[ \sin(2\alpha) = 2 \sin \alpha \cos \alpha \] \[ \cos(2\alpha) = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha \]

3. Вычислить производную функции f(x)=x⁴-6x²+4 в точках х=1, x=2

Для вычисления производной воспользуемся правилами дифференцирования:

• Производная степенной функции \[ (x^n)' = n × x^{n-1} \]
• Производная константы равна нулю \[ (C)' = 0 \]
• Производная суммы/разности равна сумме/разности производных \[ (u ± v)' = u' ± v' \]

Найдем производную функции f(x):

\[ f'(x) = (x^4 - 6x^2 + 4)' \] \[ f'(x) = (x^4)' - (6x^2)' + (4)' \] \[ f'(x) = 4x^3 - 6 × (2x) + 0 \] \[ f'(x) = 4x^3 - 12x \]

Теперь вычислим значение производной в заданных точках:

При x=1:

\[ f'(1) = 4(1)^3 - 12(1) \] \[ f'(1) = 4 - 12 \] \[ f'(1) = -8 \]

При x=2:

\[ f'(2) = 4(2)^3 - 12(2) \] \[ f'(2) = 4(8) - 24 \] \[ f'(2) = 32 - 24 \] \[ f'(2) = 8 \]

Ответ: f'(1) = -8, f'(2) = 8

4. Решить уравнение sin(x/3) = √2 / 2

Это стандартное тригонометрическое уравнение. Общее решение для уравнения \[ \sin y = a \] при \[ -1 \le a \le 1 \] имеет вид: \[ y = (-1)^n · \arcsin a + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]

В нашем случае \[ y = \frac{x}{3} \] и \[ a = \frac{\sqrt{2}}{2} \] Значение \[ \arcsin \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{\pi}{4} \]

Подставляем в общую формулу:

\[ \frac{x}{3} = (-1)^n · \frac{\pi}{4} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]

Чтобы найти \[ x \] умножим обе части уравнения на 3:

\[ x = 3 × { (-1)^n · \frac{\pi}{4} + \pi n \u007D \] \[ x = (-1)^n · \frac{3\pi}{4} + 3\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]

Ответ: \[ x = (-1)^n \frac{3\pi}{4} + 3\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]