$$ 1 \angle NMK = 60^{\circ}, MO = ?

Дано:

• \[ \angle NMK = 60^{\circ} \]
• \[ MO \text{ - ?} \]
• \[ NK \text{ - касательная} \]
• \[ ON = 10 \text{ (радиус)} \]

Решение:

В данной задаче нам дана окружность с центром в точке O и радиусом 10. Точка K лежит на окружности, и прямая MK является касательной к окружности в точке K.

По свойству касательной, радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Следовательно, \[ \angle MKO = 90^{\circ} \].

Нам дано, что \[ \angle NMK = 60^{\circ} \]. Рассмотрим треугольник △ MKO. Он является прямоугольным, так как △ MKO = 90°.

В этом треугольнике мы знаем:

• \[ OK = 10 \text{ (радиус)} \]
• \[ \angle MKO = 90^{\circ} \]
• \[ \angle KMO = 60^{\circ} \]

Сумма углов в треугольнике равна 180°. Следовательно, ∠ MOK = 180° - 90° - 60° = 30°.

Теперь мы можем найти длину отрезка MO, используя тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике △ MKO:

• \[ \sin(\angle KMO) = \frac{OK}{MO} \]
• \[ \sin(60^{\circ}) = \frac{10}{MO} \]
• \[ \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{10}{MO} \]
• \[ MO = \frac{10 · 2}{\sqrt{3}} = \frac{20}{\sqrt{3}} \]

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на √3:

• \[ MO = \frac{20 · \sqrt{3}}{\sqrt{3} · \sqrt{3}} = \frac{20\sqrt{3}}{3} \]

Ответ:

$$rac{20√3}{3}$$