1. ∠AOB = 100°. Луч OE делит этот угол на два угла так, что ∠BOE = 3∠AOE. а) Найдите градусную величину углов BOE и AOE. б) Найдите угол AOF, если луч OF проведён так, что OE — биссектриса угла FOB. Каким углом: острым или тупым — является этот угол?

а) Пусть ∠AOE = x. Тогда ∠BOE = 3x, а сумма этих углов равна ∠AOB:

\(x + 3x = 100°\), поэтому \(x = 25°\).

Значит, ∠AOE = 25°, а ∠BOE = \(3 \cdot 25° = 75°\).

б) Так как OE — биссектриса угла FOB, то ∠FOE = ∠EOB = 75°. Луч OF расположен по другую сторону от OE относительно OB, поэтому ∠AOF = ∠AOE + ∠EOF = \(25° + 75° = 100°\)? Нет: лучи OA, OE, OB расположены внутри угла AOB, и для OF, при котором OE является внутренним биссектрисом FOB, угол EOF равен 75° в сторону от OB. Тогда угол AOF равен \(25° + 75° = 100°\).

Ответ: ∠BOE = 75°, ∠AOE = 25°; ∠AOF = 100°, это тупой угол.