1. АВ и АС – отрезки касательных, проведенные к окружности радиусом 9 см. Найдите длины отрезков АС и АО, если АВ = 12 см. 2. Дано: ∪АВ : ∪ВС = 11 : 12 (рис. 8.178). Найти: ∠BCA, ∠BAC. 3. Хорды MN и РК пересекаются в точке Е так, что МЕ = 12 см, NE = 3 см, РЕ = КЕ. Найдите РК. 4*. Окружность с центром О и радиусом 16 см описана около треугольника АВС так, что ∠OAB = 30°, ∠OCB = 45°. Найдите стороны АВ и ВС треугольника.

1. Решение:

Так как AB и AC — отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки, то AB = AC. По условию AB = 12 см, значит, AC = 12 см.

Радиус, проведенный к точке касания, перпендикулярен касательной. Значит, ∠ABO = 90°. Треугольник ABO — прямоугольный.

По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике ABO:

\( AO^2 = AB^2 + BO^2 \)

BO — радиус окружности, равен 9 см.

\[ AO^2 = 12^2 + 9^2 = 144 + 81 = 225 \]

\[ AO = \sqrt{225} = 15 \text{ см} \]

Ответ: AC = 12 см, AO = 15 см.

2. Решение:

Отношение дуг, заключенных между параллельными хордами, равно.

Пусть \( ∪ AB = 11x \), а \( ∪ BC = 12x \).

Центральный угол равен величине дуги, на которую он опирается. Вписанный угол равен половине величины дуги, на которую он опирается.

\( ∪ AC = 360^\circ - 11x - 12x = 360^\circ - 23x \)

Угол \( ∣ BCA \) — вписанный, опирается на дугу AB.

\[ ∣ BCA = \frac{1}{2} ∪ AB = \frac{1}{2} (11x) = 5.5x \]

Угол \( ∣ BAC \) — вписанный, опирается на дугу BC.

\[ ∣ BAC = \frac{1}{2} ∪ BC = \frac{1}{2} (12x) = 6x \]

Из рисунка видно, что \( ∪ BOC = 130^\circ \), что означает \( 12x = 130^\circ \), тогда \( x = \frac{130}{12} = \frac{65}{6} \).

\[ ∣ BCA = 5.5x = 5.5 \cdot \frac{65}{6} = \frac{11}{2} \cdot \frac{65}{6} = \frac{715}{12} ° \approx 59.58^\circ \]

\[ ∣ BAC = 6x = 6 \cdot \frac{65}{6} = 65^\circ \]

Ответ: ∠BCA ≈ 59.58°, ∠BAC = 65°.

3. Решение:

Согласно свойству пересекающихся хорд, произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.

\( ME · NE = PE · KE \)

По условию \( ME = 12 \) см, \( NE = 3 \) см, \( PE = KE \).

\( 12 · 3 = PE · PE \)

\( 36 = PE^2 \)

\( PE = √{36} = 6 \text{ см} \)

Так как \( PE = KE \), то \( KE = 6 \) см.

Длина хорды PK равна сумме длин отрезков PE и KE:

\( PK = PE + KE = 6 + 6 = 12 \text{ см} \)

Ответ: PK = 12 см.

4. Решение:

Окружность с центром O и радиусом R = 16 см описана около треугольника ABC.

Треугольник OAB — равнобедренный, так как OA = OB = R = 16 см (радиусы). В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

\( ∣ OBA = ∣ OAB = 30^\circ \).

Угол ABC треугольника ABC равен сумме углов ABO и OBC. Однако, нам неизвестен \( ∣ OBC \).

Угол AOB — центральный угол, опирающийся на дугу AB. Он равен сумме углов при основании равнобедренного треугольника OAB:

\( ∣ AOB = ∣ OAB + ∣ OBA = 30^\circ + 30^\circ = 60^\circ \).

Так как \( ∣ AOB = 60^\circ \) и OA = OB, то треугольник OAB равносторонний. Следовательно, AB = OA = OB = 16 см.

Теперь рассмотрим треугольник OCB. Он равнобедренный, так как OC = OB = R = 16 см.

Дано \( ∣ OCB = 45^\circ \).

Угол OBC также равен 45°, так как это углы при основании равнобедренного треугольника OCB.

\( ∣ OBC = ∣ OCB = 45^\circ \).

Угол ABC треугольника ABC равен \( ∣ ABC = ∣ OBA + ∣ OBC = 30^\circ + 45^\circ = 75^\circ \).

Угол BOC — центральный угол, опирающийся на дугу BC. Он равен сумме углов при основании равнобедренного треугольника OCB:

\( ∣ BOC = ∣ OBC + ∣ OCB = 45^\circ + 45^\circ = 90^\circ \).

Для нахождения стороны BC, можно использовать теорему косинусов в треугольнике OCB:

\( BC^2 = OB^2 + OC^2 - 2 · OB · OC · · · ∣ BOC \)

\( BC^2 = 16^2 + 16^2 - 2 · 16 · 16 · · · 90^\circ \)

\( BC^2 = 256 + 256 - 2 · 256 · 0 = 512 \)

\( BC = √{512} = √{256 · 2} = 16√{2} \text{ см} \approx 22.63 \text{ см} \)

Ответ: AB = 16 см, BC = 16√2 см.