1. б) Вычислите: 1\(\frac{1}{4}\) + \(\frac{5}{17}\) - 2\(\frac{4}{15}\) - \(\frac{1}{8}\) · \(\frac{51}{56}\)

Решение:

1. Переведём смешанные числа в неправильные дроби: \( 1\(\frac{1}{4}\) = \(\frac{5}{4}\) \), \( 2\(\frac{4}{15}\) = \(\frac{34}{15}\) \).
2. Выполним умножение: \(\(\frac{1}{8}\) \(\cdot\) \(\frac{51}{56}\) = \(\frac{51}{448}\) \).
3. Приведём дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 4, 17, 15, 448 — 10080.
4. \(\(\frac{5}{4}\) = \(\frac{12600}{10080}\) \), \(\(\frac{5}{17}\) = \(\frac{2976.47..}{10080}\) (этот подход будет очень громоздким, попробуем сначала упростить).
5. Перепишем выражение: \(\(\frac{5}{4}\) + \(\frac{5}{17}\) - \(\frac{34}{15}\) - \(\frac{51}{448}\) \).
6. Приведём к общему знаменателю: \( LCM(4, 17, 15, 448) \). \( 448 = 7 \cdot 64 = 7 \cdot 2^6 \). \( 15 = 3 \cdot 5 \). \( 17 \) — простое. \( 4 = 2^2 \). \( LCM = 2^6 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 17 = 64 \cdot 15 \cdot 119 = 960 \cdot 119 = 114240 \).
7. \(\(\frac{5 \cdot 28560}{114240}\) + \(\frac{5 \cdot 6720}{114240}\) - \(\frac{34 \cdot 7616}{114240}\) - \(\frac{51 \cdot 255}{114240}\) \).
8. \(\(\frac{142800 + 33600 - 258944 - 12995}{114240}\) = \(\frac{176400 - 271939}{114240} = \(\frac{-95539}{114240}\) \).

9. Важно: при таком большом количестве дробей и длинных вычислениях, часто встречаются ошибки. Проверим ещё раз.

   Перепроверка:

   • \( 1\(\frac{1}{4}\) + \(\frac{5}{17}\) = \(\frac{5}{4}\) + \(\frac{5}{17}\) = \(\frac{85+20}{68}\) = \(\frac{105}{68}\)
   • \( 2\(\frac{4}{15}\) = \(\frac{34}{15}\)
   • \(\(\frac{1}{8}\) \(\cdot\) \(\frac{51}{56}\) = \(\frac{51}{448}\)
   • \(\(\frac{105}{68}\) - \(\frac{34}{15}\) - \(\frac{51}{448}\) \).
   • \( LCM(68, 15, 448) = LCM(4 \cdot 17, 3 \cdot 5, 64 \cdot 7) = 2^6 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 17 = 114240 \).
   • \(\(\frac{105 \cdot 1680}{114240}\) - \(\frac{34 \cdot 7616}{114240}\) - \(\frac{51 \cdot 255}{114240}\) \).
   • \(\(\frac{176400 - 258944 - 12995}{114240}\) = \(\frac{176400 - 271939}{114240} = \(\frac{-95539}{114240}\) \)

   Ответ: -\(\frac{95539}{114240}\)