(1 балл) Стороны угла ВАС, равного 60°, касаются окружности с центром О. Найдите длину отрезка ОА, если радиус окружности равен 8 см.

Дано:

• Угол \( \angle BAC = 60^{\circ} \)
• Окружность с центром \( O \)
• Радиус окружности \( R = 8 \text{ см} \)
• Стороны угла \( \angle BAC \) касаются окружности.

Найти:

• Длину отрезка \( OA \)

Решение:

Так как стороны угла \( \angle BAC \) касаются окружности с центром \( O \), то точки касания лежат на сторонах угла. Отрезки, соединяющие центр окружности с точками касания, являются радиусами окружности и перпендикулярны касательным в этих точках. Пусть точки касания будут \( B \) и \( C \) на сторонах \( AB \) и \( AC \) угла соответственно. Тогда \( OB \perp AB \) и \( OC \perp AC \), а \( OB = OC = R = 8 \text{ см} \).

Рассмотрим треугольники \( \triangle OBA \) и \( \triangle OCA \). Они являются прямоугольными, так как \( \angle OBA = \angle OCA = 90^{\circ} \). Отрезок \( OA \) является общей гипотенузой для обоих треугольников. По теореме о равенстве прямоугольных треугольников по гипотенузе и катету (так как \( OB = OC \) и \( OA \) - общая гипотенуза), треугольники \( \triangle OBA \) и \( \triangle OCA \) равны.

Следовательно, биссектриса угла \( \angle BAC \) проходит через центр окружности \( O \). Это означает, что \( OA \) делит угол \( \angle BAC \) пополам. Таким образом, \( \angle OAB = \angle OAC = \frac{60^{\circ}}{2} = 30^{\circ} \).

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник \( \triangle OBA \). Мы знаем, что \( OB = 8 \text{ см} \) (катет) и \( \angle OAB = 30^{\circ} \). Нам нужно найти гипотенузу \( OA \).

В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в \( 30^{\circ} \), равен половине гипотенузы. То есть:

\[ OB = \frac{1}{2} OA \]

Выразим \( OA \):

\[ OA = 2 \cdot OB \]

Подставим значение \( OB \):

\[ OA = 2 \cdot 8 \text{ см} = 16 \text{ см} \]

Ответ:

16 см