(1 балл) В угол, равный 60°, вписаны две окружности, касающиеся друг друга внешним образом. Радиус меньшей окружности равен 7 см. Найдите радиус большей окружности.

Краткая запись:

• Угол: 60°
• Радиус меньшей окружности (r): 7 см
• Найти: Радиус большей окружности (R) — ?

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Определение положения центров окружностей. Центры обеих окружностей лежат на биссектрисе угла 60°, то есть на прямой, делящей угол пополам. Таким образом, биссектриса образует угол 30° с каждой стороной исходного угла.
2. Шаг 2: Рассматриваем треугольник, образованный центрами окружностей и точкой их касания. Пусть O₁ — центр меньшей окружности, O₂ — центр большей окружности. Точка касания T лежит на линии, соединяющей O₁ и O₂. Расстояние между центрами O₁O₂ = r + R.
3. Шаг 3: Построим прямоугольный треугольник. Проведем перпендикуляры из O₁ и O₂ к одной из сторон угла. Расстояние от центра окружности до стороны угла равно ее радиусу. Рассмотрим треугольник, образованный центром меньшей окружности O₁, точкой касания перпендикуляра с одной из сторон угла, и вершиной угла. Угол при вершине равен 30°.
4. Шаг 4: Применим тригонометрию. Для меньшей окружности: \( rac{r}{\sin(30°)} = \frac{d_1}{1} \), где \( d_1 \) — расстояние от вершины угла до центра O₁. Так как \( \sin(30°) = 0.5 \), то \( d_1 = \frac{r}{0.5} = 2r \).
5. Шаг 5: Аналогично для большей окружности: \( rac{R}{\sin(30°)} = \frac{d_2}{1} \), где \( d_2 \) — расстояние от вершины угла до центра O₂. Следовательно, \( d_2 = \frac{R}{0.5} = 2R \).
6. Шаг 6: Найдем связь между расстояниями и радиусами. Расстояние между центрами O₁O₂ = \( d_2 - d_1 \). Также \( O_1O_2 = r + R \).
7. Шаг 7: Составим уравнение: \( r + R = 2R - 2r \).
8. Шаг 8: Решим уравнение относительно R: \( r + 2r = 2R - R \) \( 3r = R \).
9. Шаг 9: Подставим значение радиуса меньшей окружности: \( R = 3 \cdot 7 \) см \( = 21 \) см.

Ответ: 21 см