Ответ:

Вставляем пропущенные буквы и раскрываем скобки по правилам написания НЕ, суффиксов причастий и глагольных окончаний.

Белки — необычные зверьки. В непогоду они предпочитают поголодать, но в тепле. Его сохраняет домишко под названием гайно, сооружённое из веточек и проконопаченное шерстью, травою и мхом. Однако солнце белки тоже не любят и могут от него схорониться в дупле, в брошенном птичьем гнезде.

«Необычные» и «непогоду» пишем слитно: слова можно заменить близкими по смыслу без НЕ. «Не любят» — раздельно с глаголом. «Тоже» — союз, пишется слитно. В причастиях «сооружённое», «проконопаченное», «брошенном» пишется НН.