1. Биссектриса угла A параллелограмма ABCD пересекает сторону BC в точке P, причём BP = PC. Найдите стороны параллелограмма, если его периметр равен 54 см.

Обозначим AB = a, AD = b. В параллелограмме BC = AD = b, а по условию P — середина BC.

Поскольку AD ∥ BC, угол между биссектрисой AP и BC равен углу между AP и AD. Из BP = PC следует, что треугольник ABP равнобедренный: ∠BAP = ∠APB. Также ∠APB = ∠PAD, так как BP лежит на BC и BC ∥ AD. Значит, ∠BAP = ∠PAD, и в треугольнике ABP равны углы при A и P, поэтому AB = BP.

Так как P — середина BC, BC = 2BP, следовательно, AD = 2AB. Периметр равен 2(AB + AD) = 54, поэтому AB + AD = 27. Подставляем AD = 2AB: 3AB = 27, откуда AB = 9 см и AD = 18 см.

Ответ: стороны параллелограмма — 9 см и 18 см.