1. Биссектрисы ∆ ABC пересекаются в точке О, причем ∠AOB=∠BOC=110°. б) Найти углы данного ∆.

Это задача на свойства биссектрис и углы треугольника. Давай разберемся!

Что нам дано:

• Биссектрисы углов A и B пересекаются в точке O.
• \[ \angle AOB = 110^{\circ} \]
• \[ \angle BOC = 110^{\circ} \]

Что нужно найти:

• Углы треугольника ABC: \[ \angle A, \angle B, \angle C \]

Как будем решать:

1. Используем свойство биссектрис: В треугольнике биссектрисы пересекаются в одной точке. Эта точка является центром вписанной окружности.
2. Рассмотрим треугольник AOB: Сумма углов в любом треугольнике равна 180°.
3. Рассмотрим треугольник BOC: Аналогично, сумма углов здесь тоже 180°.

Шаг 1: Найдем углы в треугольнике AOB

В треугольнике AOB у нас есть угол
\[ \angle AOB = 110^{\circ} \].

Пусть
\[ AO \] — биссектриса
\[ \angle A \] и
\[ BO \] — биссектриса
\[ \angle B \].

Тогда
\[ \angle OAB = \frac{\angle A}{2} \] и
\[ \angle OBA = \frac{\angle B}{2} \].

В треугольнике AOB:

\[ \angle OAB + \angle OBA + \angle AOB = 180^{\circ} \]

\[ \frac{\angle A}{2} + \frac{\angle B}{2} + 110^{\circ} = 180^{\circ} \]

\[ \frac{\angle A + \angle B}{2} = 180^{\circ} - 110^{\circ} \]

\[ \frac{\angle A + \angle B}{2} = 70^{\circ} \]

\[ \angle A + \angle B = 140^{\circ} \]

Шаг 2: Найдем угол C

Сумма углов в треугольнике ABC равна 180°:

\[ \angle A + \angle B + \angle C = 180^{\circ} \]

Мы уже знаем, что
\[ \angle A + \angle B = 140^{\circ} \]. Подставим это значение:

\[ 140^{\circ} + \angle C = 180^{\circ} \]

\[ \angle C = 180^{\circ} - 140^{\circ} \]

\[ \angle C = 40^{\circ} \]

Шаг 3: Найдем углы A и B, используя данные про ∠BOC

В задаче также дано, что
\[ \angle BOC = 110^{\circ} \].

Рассмотрим треугольник BOC. В нем:

\[ \angle OBC = \frac{\angle B}{2} \]

\[ \angle OCB = \frac{\angle C}{2} \]

\[ \angle OBC + \angle OCB + \angle BOC = 180^{\circ} \]

\[ \frac{\angle B}{2} + \frac{\angle C}{2} + 110^{\circ} = 180^{\circ} \]

\[ \frac{\angle B + \angle C}{2} = 180^{\circ} - 110^{\circ} \]

\[ \frac{\angle B + \angle C}{2} = 70^{\circ} \]

\[ \angle B + \angle C = 140^{\circ} \]

Мы уже нашли, что
\[ \angle C = 40^{\circ} \]. Подставим:

\[ \angle B + 40^{\circ} = 140^{\circ} \]

\[ \angle B = 140^{\circ} - 40^{\circ} \]

\[ \angle B = 100^{\circ} \]

Шаг 4: Найдем угол A

Теперь, когда мы знаем
\[ \angle B \] и
\[ \angle C \], мы можем найти
\[ \angle A \] из суммы углов треугольника ABC:

\[ \angle A + \angle B + \angle C = 180^{\circ} \]

\[ \angle A + 100^{\circ} + 40^{\circ} = 180^{\circ} \]

\[ \angle A + 140^{\circ} = 180^{\circ} \]

\[ \angle A = 180^{\circ} - 140^{\circ} \]

\[ \angle A = 40^{\circ} \]

Проверка:

Если
\[ \angle A = 40^{\circ} \] и
\[ \angle B = 100^{\circ} \], то
\[ \frac{\angle A}{2} = 20^{\circ} \] и
\[ \frac{\angle B}{2} = 50^{\circ} \].

В треугольнике AOB:
\[ 20^{\circ} + 50^{\circ} + 110^{\circ} = 180^{\circ} \]. Верно.

В треугольнике BOC:
\[ \frac{\angle B}{2} = 50^{\circ} \],
\[ \angle C = 40^{\circ} \], значит
\[ \frac{\angle C}{2} = 20^{\circ} \].

\[ 50^{\circ} + 20^{\circ} + 110^{\circ} = 180^{\circ} \]. Верно.

Важное замечание: В условии задачи указано
\[ \angle AOB = 110^{\circ} \] и
\[ \angle BOC = 110^{\circ} \]. Однако, если биссектрисы пересекаются в точке O, то
\[ \angle AOB + \angle BOC + \angle COA = 360^{\circ} \] (если O — точка пересечения биссектрис внутри треугольника) или
\[ \angle AOB = 180^{\circ} - \frac{\angle A + \angle B}{2} \].

В данном случае, если
\[ \angle AOB = 110^{\circ} \], то
\[ \angle A + \angle B = 140^{\circ} \].

Если
\[ \angle BOC = 110^{\circ} \], то
\[ \angle B + \angle C = 140^{\circ} \].

Складывая эти два равенства, получаем:

\[ (\angle A + \angle B) + (\angle B + \angle C) = 140^{\circ} + 140^{\circ} \]

\[ \angle A + 2\angle B + \angle C = 280^{\circ} \]

Мы знаем, что
\[ \angle A + \angle B + \angle C = 180^{\circ} \].

Тогда
\[ (\angle A + \angle B + \angle C) + \angle B = 280^{\circ} \]

\[ 180^{\circ} + \angle B = 280^{\circ} \]

\[ \angle B = 100^{\circ} \]

Теперь можем найти
\[ \angle A \] и
\[ \angle C \]:

\[ \angle A + 100^{\circ} = 140^{\circ} \] \(
\[ \angle A = 40^{\circ} \]
\[\)]

\[ \angle B + \angle C = 140^{\circ} \] \(
\[ 100^{\circ} + \angle C = 140^{\circ} \] \(
\[ \angle C = 40^{\circ} \]
\[\)]

Углы получились:
\[ \angle A = 40^{\circ}, \angle B = 100^{\circ}, \angle C = 40^{\circ} \].

Но есть проблема: угол
\[ \angle AOB = 110^{\circ} \] и
\[ \angle BOC = 110^{\circ} \] — это углы, образованные биссектрисами. Если
\[ \angle A = 40^{\circ} \] и
\[ \angle B = 100^{\circ} \], то
\[ \angle OAB = 20^{\circ} \] и
\[ \angle OBA = 50^{\circ} \]. Сумма
\[ 20^{\circ} + 50^{\circ} = 70^{\circ} \]. Тогда
\[ \angle AOB = 180^{\circ} - 70^{\circ} = 110^{\circ} \]. Это сходится.

Если
\[ \angle B = 100^{\circ} \] и
\[ \angle C = 40^{\circ} \], то
\[ \angle OBC = 50^{\circ} \] и
\[ \angle OCB = 20^{\circ} \]. Сумма
\[ 50^{\circ} + 20^{\circ} = 70^{\circ} \]. Тогда
\[ \angle BOC = 180^{\circ} - 70^{\circ} = 110^{\circ} \]. Это тоже сходится.

Ответ: Углы треугольника ABC равны
\[ \angle A = 40^{\circ}, \angle B = 100^{\circ}, \angle C = 40^{\circ} \].