№ 1. Биссектрисы BK и CL (с основаниями на стороне AD) параллелограмма ABCD с острым углом A пересекаются в точке внутри параллелограмма. Оказалось, что AL = LK = KD. Найдите меньшую сторону параллелограмма, если его периметр равен 60.

Обозначим стороны параллелограмма: AB = CD = a, AD = BC = b.

Так как BC ∥ AD, а BK — биссектриса угла B, получаем, что в треугольнике BKC углы при B и K равны. Значит, BK = KC. Из геометрии параллелограмма следует, что AK = AB, то есть AK = a.

Аналогично для биссектрисы CL: AL = b − AB = b − a.

Из условия AL = LK = KD следует, что точки делят AD на три равные части: AL = b/3, AK = AL + LK = 2b/3. Поэтому a = 2b/3. Значит, стороны относятся как 2:3.

Полупериметр равен 60 ÷ 2 = 30. Пусть стороны равны 2x и 3x. Тогда 5x = 30, откуда x = 6, а меньшая сторона равна 2x = 12.

Ответ: 12.