1. Биссектрисы $$\triangle ABC$$ пересекаются в точке O, причем $$\angle AOB = \angle BOC = 110^\circ$$. а) Докажите, что $$\triangle ABC$$ — равнобедренный и укажите его основание; б) Найдите углы данного $$\triangle-ка$$.

Question

Вопрос:

1. Биссектрисы $$\triangle ABC$$ пересекаются в точке O, причем $$\angle AOB = \angle BOC = 110^\circ$$. а) Докажите, что $$\triangle ABC$$ — равнобедренный и укажите его основание; б) Найдите углы данного $$\triangle-ка$$.

Ответ:

ФИО:Телефон:Емаил:Полное описание сути нарушения прав (почему распространение данной информации запрещено Правообладателем):

Accepted Answer

Решение:

а) Доказательство:
По условию, биссектрисы углов $$\triangle ABC$$ пересекаются в точке O. Дано, что $$\angle AOB = \angle BOC = 110^\circ$$.
В $$\triangle AOB$$ сумма углов равна $$180^\circ$$. Следовательно, $$\angle OAB + \angle OBA + \angle AOB = 180^\circ$$.
$$\angle OAB + \angle OBA + 110^\circ = 180^\circ$$.
$$\angle OAB + \angle OBA = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ$$.
Поскольку AO и BO — биссектрисы углов A и B соответственно, то $$\angle BAC = 2 \cdot \angle OAB$$ и $$\angle ABC = 2 \cdot \angle OBA$$.
Тогда $$\angle BAC + \angle ABC = 2 \cdot \angle OAB + 2 \cdot \angle OBA = 2 \cdot (\angle OAB + \angle OBA) = 2 \cdot 70^\circ = 140^\circ$$.
В $$\triangle ABC$$ сумма углов равна $$180^\circ$$. Следовательно, $$\angle ACB = 180^\circ - (\angle BAC + \angle ABC) = 180^\circ - 140^\circ = 40^\circ$$.
Теперь рассмотрим $$\angle BOC = 110^\circ$$. В $$\triangle BOC$$, $$\angle OBC + \angle OCB + \angle BOC = 180^\circ$$.
$$\angle OBC + \angle OCB + 110^\circ = 180^\circ$$.
$$\angle OBC + \angle OCB = 70^\circ$$.
Поскольку CO — биссектриса угла C, то $$\angle ACB = 2 \cdot \angle OCB$$.
$$40^\circ = 2 \cdot \angle OCB$$, откуда $$\angle OCB = 20^\circ$$.
Подставим это в предыдущее уравнение: $$\angle OBC + 20^\circ = 70^\circ$$, откуда $$\angle OBC = 50^\circ$$.
Теперь найдем $$\angle ABC = 2 \cdot \angle OBC = 2 \cdot 50^\circ = 100^\circ$$.
Найдем $$\angle BAC = 180^\circ - (\angle ABC + \angle ACB) = 180^\circ - (100^\circ + 40^\circ) = 180^\circ - 140^\circ = 40^\circ$$.
Мы получили углы $$\angle BAC = 40^\circ$$, $$\angle ABC = 100^\circ$$, $$\angle ACB = 40^\circ$$.
Так как $$\angle BAC = \angle ACB = 40^\circ$$, то $$\triangle ABC$$ является равнобедренным с основанием AC.
б) Нахождение углов:
Углы треугольника уже найдены в пункте а):
- $$$ \angle BAC = 40^\circ $$$
- $$$ \angle ABC = 100^\circ $$$
- $$$ \angle ACB = 40^\circ $$$

Ответ: а) $$\triangle ABC$$ — равнобедренный с основанием AC; б) Углы треугольника равны $$40^\circ$$, $$100^\circ$$, $$40^\circ$$.