1. Биссектрисы углов A и D параллелограмма ABCD пересекаются в точке M, лежащей на стороне BC. Найдите периметр параллелограмма ABCD, если AB = 2.

Обозначим длину стороны AD через \(b\). Пусть единичные векторы вдоль сторон AB и AD равны \(\vec e\) и \(\vec f\).

Точка M лежит на биссектрисе угла A, поэтому её можно представить в виде \(M=2(\vec e+\vec f)\). Так как M лежит на стороне BC, получаем коэффициент при \(\vec f\), равный 2.

С другой стороны, M лежит на биссектрисе угла D. Направление этой биссектрисы задаётся вектором \(\vec e-\vec f\). Сравнение коэффициентов даёт \(AD=2\cdot AB=4\).

Тогда периметр параллелограмма:

\[P=2(AB+AD)=2(2+4)=12.\]

Ответ: 12.