1. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 1, угол при вершине, противолежащей основанию, равен 120°. Найдите диаметр описанной окружности этого треугольника.

Решение:

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Сумма углов треугольника равна 180°. Значит, углы при основании равны \( \frac{180° - 120°}{2} = 30° \).

По теореме синусов, отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно диаметру описанной окружности:

\( \frac{a}{\sin \alpha} = 2R \)

Где \( a \) — сторона треугольника, \( \alpha \) — противолежащий угол, \( 2R \) — диаметр описанной окружности.

В нашем случае:

• Сторона, противолежащая углу при вершине, — основание треугольника.
• Стороны, равные 1, противолежат углам при основании (30°).

Используем сторону, равную 1, и противолежащий ей угол 30°:

\[ \frac{1}{\sin 30°} = 2R \]

Так как \( \sin 30° = 0.5 \), получаем:

\[ \frac{1}{0.5} = 2R \]

\[ 2 = 2R \]

Диаметр описанной окружности равен 2.

Ответ: 2.