1. Чему равна сумма углов выпуклого восьмиугольника? 2. Основания трапеции равны 8 см и 4 см, а ее высота — 3 см. Найдите площадь трапеции. 3. Основание равнобедренного треугольника равно 16 см, а боковая сторона — 17 см. Найдите площадь треугольника. 4. Угол между высотами параллелограмма, проведенными из вершины тупого угла, равен 60°. Найдите площадь параллелограмма, если его стороны равны 8 см и 14 см. 5. Найдите площадь ромба, сторона которого равна 50 см, а разность диагоналей — 20 см. 6. Биссектриса острого угла прямоугольного треугольника делит катет на отрезки длиной 6 см и 10 см. Найдите площадь треугольника.

1. Сумма углов восьмиугольника:

• Формула для суммы углов выпуклого n-угольника:        \[ S = (n-2) \times 180^{\circ} \]
• Для восьмиугольника n = 8.
• \[ S = (8-2) \times 180^{\circ} = 6 \times 180^{\circ} = 1080^{\circ} \]

Ответ: 1080°

2. Площадь трапеции:

• Дано:
• Основание 1 (a) = 8 см
• Основание 2 (b) = 4 см
• Высота (h) = 3 см
• Формула площади трапеции:        \[ S = \frac{a+b}{2} \times h \]
• Подставляем значения:
• \[ S = \frac{8+4}{2} \times 3 = \frac{12}{2} \times 3 = 6 \times 3 = 18 \]

Ответ: 18 см²

3. Площадь равнобедренного треугольника:

• Дано:
• Основание (a) = 16 см
• Боковая сторона (b) = 17 см
• Найдем высоту (h) треугольника, используя теорему Пифагора. Высота, опущенная на основание равнобедренного треугольника, делит его пополам.
• Катет = 16 см / 2 = 8 см.
• \[ h^2 + 8^2 = 17^2 \]
• \[ h^2 + 64 = 289 \]
• \[ h^2 = 289 - 64 = 225 \]
• \[ h = \sqrt{225} = 15 \] см
• Формула площади треугольника:        \[ S = \frac{1}{2} \times a \times h \]
• Подставляем значения:
• \[ S = \frac{1}{2} \times 16 \times 15 = 8 \times 15 = 120 \]

Ответ: 120 см²

4. Площадь параллелограмма:

• Дано:
• Сторона 1 (a) = 8 см
• Сторона 2 (b) = 14 см
• Угол между высотами (из тупого угла) = 60°
• Угол между высотами, проведенными из вершины тупого угла, равен острому углу параллелограмма. Следовательно, острый угол параллелограмма равен 60°.
• Формула площади параллелограмма:        \[ S = a \times b \times \sin(\alpha) \]
• Где \(\alpha\) — угол между сторонами.
• \[ S = 8 \times 14 \times \sin(60^{\circ}) \]
• \[ S = 112 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 56\sqrt{3} \]

Ответ: 56√3 см²

5. Площадь ромба:

• Дано:
• Сторона (a) = 50 см
• Разность диагоналей (d₁ - d₂) = 20 см
• Формула площади ромба:        \[ S = \frac{d_1 \times d_2}{2} \]
• В ромбе диагонали пересекаются под прямым углом и делятся пополам. Сторона ромба является гипотенузой прямоугольного треугольника, образованного половинами диагоналей.
• \[ (\frac{d_1}{2})^2 + (\frac{d_2}{2})^2 = a^2 \]
• \[ \frac{d_1^2}{4} + \frac{d_2^2}{4} = 50^2 = 2500 \]
• \[ d_1^2 + d_2^2 = 10000 \]
• Из условия: \( d_1 - d_2 = 20 \), следовательно \( d_1 = d_2 + 20 \).
• Подставляем в уравнение:
• \[ (d_2 + 20)^2 + d_2^2 = 10000 \]
• \[ d_2^2 + 40d_2 + 400 + d_2^2 = 10000 \]
• \[ 2d_2^2 + 40d_2 - 9600 = 0 \]
• \[ d_2^2 + 20d_2 - 4800 = 0 \]
• Решаем квадратное уравнение для \(d_2\):
• \[ d_2 = \frac{-20 \pm \sqrt{20^2 - 4(1)(-4800)}}{2(1)} = \frac{-20 \pm \sqrt{400 + 19200}}{2} = \frac{-20 \pm \sqrt{19600}}{2} = \frac{-20 \pm 140}{2} \]
• Так как диагональ не может быть отрицательной, берем положительное значение:
• \[ d_2 = \frac{-20 + 140}{2} = \frac{120}{2} = 60 \] см
• Теперь найдем \(d_1\):
• \[ d_1 = d_2 + 20 = 60 + 20 = 80 \] см
• Находим площадь:
• \[ S = \frac{80 \times 60}{2} = \frac{4800}{2} = 2400 \]

Ответ: 2400 см²

6. Площадь прямоугольного треугольника:

• Дано:
• Биссектриса острого угла делит катет на отрезки 6 см и 10 см.
• Пусть биссектриса делит катет 'b' на отрезки \(b_1 = 6\) см и \(b_2 = 10\) см.
• По теореме о биссектрисе, отношение прилежащих сторон к биссектрисе равно отношению отрезков, на которые она делит противолежащую сторону.
• Пусть \(a\) — другой катет, \(c\) — гипотенуза.
• \[ \frac{a}{c} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5} \]
• Значит, \(a = \frac{3}{5}c\).
• Также, по условию, один из катетов равен \(b_1 + b_2 = 6 + 10 = 16\) см.
• В прямоугольном треугольнике: \(a^2 + b^2 = c^2\).
• Случай 1: Катет, который делится биссектрисой, равен 16 см.
• \[ (\frac{3}{5}c)^2 + 16^2 = c^2 \]
• \[ \frac{9}{25}c^2 + 256 = c^2 \]
• \[ 256 = c^2 - \frac{9}{25}c^2 = \frac{16}{25}c^2 \]
• \[ c^2 = 256 \times \frac{25}{16} = 16 \times 25 = 400 \]
• \[ c = 20 \] см
• Тогда \(a = \frac{3}{5} \times 20 = 12 \) см.
• Площадь треугольника:
• \[ S = \frac{1}{2} \times a \times b = \frac{1}{2} \times 12 \times 16 = 6 \times 16 = 96 \] см²
• Случай 2: Другой катет равен 16 см, а катет, разделенный биссектрисой, равен \(x\). Тогда \(x = b_1 + b_2\).
• По теореме о биссектрисе: \(\frac{16}{c} = \frac{6}{10}\) или \(\frac{16}{c} = \frac{10}{6}\).
• Если \(\frac{16}{c} = \frac{6}{10}\), то \(c = 160/6 = 80/3\). Тогда \(x^2 = c^2 - 16^2 = (80/3)^2 - 256 = 6400/9 - 2304/9 = 4096/9\), \(x = 64/3\). Отрезки 6 и 10 не подходят.
• Если \(\frac{16}{c} = \frac{10}{6}\), то \(c = 16 imes 6 / 10 = 96/10 = 48/5\). Тогда \(x^2 = c^2 - 16^2 = (48/5)^2 - 256 = 2304/25 - 6400/25 = -4096/25\). Корень не действителен.
• Значит, единственно возможный случай — первый.

Ответ: 96 см²