1. Через сторону AB ромба ABCD проведена плоскость α. Точки E, F — середины сторон AD и DC. 1) Постройте точку пересечения прямой EF с плоскостью α. 2) Вычислите расстояние от этой точки до точек A и B, если BC = 12 см.

Обозначим плоскость ромба через β. Плоскости α и β пересекаются по прямой AB.

1. Так как E и F — середины сторон AD и DC, то в треугольнике ADC отрезок EF является средней линией. Поэтому \(EF \parallel AC\).

   Продлим прямые EF и AB до пересечения и обозначим точку пересечения через M. Точка M принадлежит прямой AB, а значит, принадлежит плоскости α.

   Следовательно, искомая точка пересечения — \(M = EF \cap \alpha\).

2. Рассмотрим треугольник ADC. Поскольку EF — средняя линия, имеем \(EF = \frac12 AC\), а также соответствующее гомотетичное положение точки M. Из построения получается:

   \(AM = \frac12 AB\).

   В ромбе все стороны равны, поэтому \(AB = BC = 12\) см.

   Тогда \(AM = \frac12 \cdot 12 = 6\) см.

   Точка M лежит на продолжении AB за точку A, поэтому \(BM = BA + AM = 12 + 6 = 18\) см.

Ответ: \(AM = 6\) см, \(BM = 18\) см.