1. Через точку М, расположенную внутри круга, проведены две хорды АВ и CD, причем АМ = МВ, СМ = 16 см, DM:MC=1:4. Найдите AB. 2. АВ — диаметр окружности. Точка С лежит на окружности. CD⊥AB, AD=3, DB=5. Найдите CD.

Решение:

1. Задача 1

Из условия \( AM = MB \) следует, что хорда AB делится точкой М пополам, значит, АВ — диаметр, а М — центр окружности. Однако в условии сказано, что М — точка внутри круга, поэтому \( AM = MB \) означает, что \( AB \) — хорда, делящаяся точкой \( M \) пополам. Если \( AB \) — хорда, то \( AM = MB \) означает, что \( M \) — середина хорды \( AB \).

Из условия \( DM:MC = 1:4 \) и \( CM = 16 \) см, находим \( DM \): \( DM = \frac{1}{4} \cdot CM = \frac{1}{4} \cdot 16 = 4 \) см. Длина хорды \( CD = DM + MC = 4 + 16 = 20 \) см.

Теперь воспользуемся теоремой о пересекающихся хордах: \( AM \cdot MB = DM \cdot MC \). Так как \( AM = MB \), то \( AM^2 = DM \cdot MC \).

Подставляем известные значения: \( AM^2 = 4 \cdot 16 = 64 \). Следовательно, \( AM = \sqrt{64} = 8 \) см.

Длина хорды \( AB = AM + MB = 8 + 8 = 16 \) см.

2. Задача 2

Поскольку АВ — диаметр окружности, а точка С лежит на окружности, то угол ACB — прямой, \( \angle ACB = 90° \).

CD перпендикулярно AB. CD — высота, проведённая из вершины прямого угла C к гипотенузе AB.

Длина гипотенузы AB = AD + DB = 3 + 5 = 8.

По теореме о высоте прямоугольного треугольника, квадрат высоты, проведённой из вершины прямого угла, равен произведению отрезков, на которые высота делит гипотенузу: \( CD^2 = AD \cdot DB \).

Подставляем известные значения: \( CD^2 = 3 \cdot 5 = 15 \).

Следовательно, \( CD = \sqrt{15} \) см.

Ответ: 1. 16 см. 2. \( \sqrt{15} \) см.