1. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 109°, угол CAD равен 39°. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.

Решение:

1. Так как четырёхугольник ABCD вписан в окружность, сумма противоположных углов равна 180°. Поэтому угол ADC = 180° - угол ABC = 180° - 109° = 71°.
2. Угол ADC состоит из углов ADB и BDC. Угол BDC является вписанным и опирается на дугу BC. Угол BAC также опирается на дугу BC. Следовательно, угол ADB = угол ADC - угол BDC = 71° - угол BDC.
3. Угол ABD является вписанным и опирается на дугу AD. Угол ACD также опирается на дугу AD. Значит, угол ABD = угол ACD.
4. Угол CAD = 39°. Угол CAD является вписанным и опирается на дугу CD. Угол CBD также опирается на дугу CD. Значит, угол CBD = 39°.
5. В треугольнике ABC угол BAC + угол ABC + угол BCA = 180°. Угол BAC = угол BAD - угол CAD.
6. Рассмотрим треугольник ABD. Нам нужно найти угол ABD.
7. Угол BCD = 180° - угол BAD.
8. Вписанный угол, опирающийся на дугу CD, равен 39° (угол CAD).
9. Угол ABD = угол ACD.
10. Угол ADC = 71°.
11. Угол ABC = 109°.
12. Рассмотрим треугольник BCD. Угол CBD = 39°. Угол BDC + угол DBC + угол BCD = 180°.
13. Угол ADB = угол ADC - угол BDC = 71° - угол BDC.
14. Угол ABD = 180° - угол ABC - угол BCD = 180° - 109° - угол BCD = 71° - угол BCD.
15. Сумма углов треугольника ABC: угол BAC + 109° + угол BCA = 180°. Угол BAC + угол BCA = 71°.
16. Угол BCD = 180° - угол BAD.
17. Угол CAD = 39° (опирается на дугу CD).
18. Угол ABD и угол ACD опираются на одну дугу AD.
19. Угол BDC опирается на дугу BC. Угол BAC опирается на дугу BC.
20. Угол ADB опирается на дугу AB. Угол ACB опирается на дугу AB.
21. Так как ABCD — вписанный четырёхугольник, то угол BAD + угол BCD = 180° и угол ABC + угол ADC = 180°.
22. Нам известно, что угол ABC = 109°, следовательно, угол ADC = 180° - 109° = 71°.
23. Нам известно, что угол CAD = 39°. Этот угол является вписанным и опирается на дугу CD. Угол CBD также опирается на дугу CD, значит, угол CBD = 39°.
24. Угол ADC = угол ADB + угол BDC = 71°.
25. Рассмотрим треугольник BCD. Сумма углов равна 180°. Угол CBD = 39°. Угол BCD = 180° - угол BAD.
26. Рассмотрим треугольник ABD. Угол BAD + угол ABD + угол ADB = 180°.
27. Угол ABD = 180° - угол BAD - угол ADB.
28. Угол ADB = угол ADC - угол BDC = 71° - угол BDC.
29. Угол BDC опирается на дугу BC. Угол BAC также опирается на дугу BC. Значит, угол BDC = угол BAC.
30. Угол BAD = угол BAC + угол CAD = угол BAC + 39°.
31. Подставим в угол ADC: (угол BAC + 39°) + угол ADB = 71°.
32. Мы ищем угол ABD.
33. Угол ABD = 180° - угол ACD.
34. Угол ADB = 71° - угол BDC.
35. Угол ABD = 180° - угол ABC - угол BCD (из треугольника ABD).
36. Угол ABD = 180° - 109° - угол BCD = 71° - угол BCD.
37. Угол BCD = 180° - угол BAD.
38. Угол ABD = 71° - (180° - угол BAD) = угол BAD - 109°.
39. Угол BAD = угол BAC + угол CAD = угол BAC + 39°.
40. Угол ABD = (угол BAC + 39°) - 109° = угол BAC - 70°.
41. Рассмотрим треугольник ABC. Угол BAC + угол ABC + угол BCA = 180°. Угол BAC + 109° + угол BCA = 180°. Угол BAC + угол BCA = 71°.
42. Угол BCA = угол BCD + угол ACD.
43. Угол ABD = угол ACD.
44. Так как угол CAD = 39°, он опирается на дугу CD. Угол CBD = 39°.
45. В треугольнике BCD: угол BDC + угол CBD + угол BCD = 180°. Угол BDC + 39° + угол BCD = 180°. Угол BDC + угол BCD = 141°.
46. Угол ADC = 71°. Угол ADC = угол ADB + угол BDC = 71°.
47. Угол ADB = 71° - угол BDC.
48. В треугольнике ABD: угол ABD + угол BAD + угол ADB = 180°.
49. Угол ABD + угол BAD + 71° - угол BDC = 180°.
50. Угол ABD + угол BAD - угол BDC = 109°.
51. Угол BAD = угол BAC + угол CAD = угол BAC + 39°.
52. Угол BDC = угол BAC.
53. Угол ABD + (угол BAC + 39°) - угол BAC = 109°.
54. Угол ABD + 39° = 109°.
55. Угол ABD = 109° - 39° = 70°.

Ответ: 70.