Контрольные задания
Вопрос:

1. Четырёхугольник АВСD вписан в окружность. Известно, что ∠A=50°, ∠B=120°. 1. Найдите углы С и Д. 2. Найдите градусные меры дуг АВС и BCD. 3. Если О — центр окружности, найдите ∠AOC и ∠BOD.

Фото заданияФото задания

Ответ:

Решение задачи 1:

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Это значит, что сумма противоположных углов равна 180°.

  1. Находим углы C и D:
    • \[ \angle C = 180° - \angle A = 180° - 50° = 130° \]
    • \[ \angle D = 180° - \angle B = 180° - 120° = 60° \]
  2. Находим градусные меры дуг ABC и BCD:
    • Градусная мера дуги, не содержащей вершины угла, равна удвоенному этому углу.
    • \[ \text{Дуга } ABC = 2 \cdot \angle D = 2 \cdot 60° = 120° \]
    • \[ \text{Дуга } BCD = 2 \cdot \angle A = 2 \cdot 50° = 100° \]
    • Проверка: Сумма дуг должна быть 360°. Дуга BCD + Дуга DAB = 100° + 2*(180°-120°) = 100° + 2*60° = 220°. Сумма всех дуг = 120° + 220° = 340°. Это неверно.
    • Переопределим дуги: Угол вписан в окружность, опирается на дугу. Градусная мера дуги равна удвоенной величине вписанного угла.
    • \[ \text{Дуга } BCD = 2 \cdot \angle A = 2 \cdot 50° = 100° \]
    • \[ \text{Дуга } ADC = 2 \cdot \angle B = 2 \cdot 120° = 240° \]
    • \[ \text{Дуга } ABC = \text{Дуга } ADC - \text{Дуга } DC \]
    • \[ \text{Дуга } AB = 2 \cdot \angle C = 2 \cdot 130° = 260° \]
    • \[ \text{Дуга } BCD = 2 \cdot \angle A = 2 \cdot 50° = 100° \]
    • \[ \text{Дуга } ABC = 360° - \text{Дуга } ADC = 360° - 240° = 120° \]
    • Или по другому:
    • \[ \text{Дуга } AB = 2 \cdot \angle C = 2 \cdot 130° = 260° \]
    • \[ \text{Дуга } BC = 2 \cdot \angle D = 2 \cdot 60° = 120° \]
    • \[ \text{Дуга } CD = 2 \cdot \angle A = 2 \cdot 50° = 100° \]
    • \[ \text{Дуга } DA = 2 \cdot \angle B = 2 \cdot 120° = 240° \]
    • Проверка: $$260° + 120° + 100° + 240° = 720°$$ — это неверно.
    • Правильно:
    • \[ \text{Дуга } BCD = 2 \cdot \angle A = 2 \cdot 50° = 100° \]
    • \[ \text{Дуга } ADC = 2 \cdot \angle B = 2 \cdot 120° = 240° \]
    • Сумма дуг должна быть 360°.
    • \[ \text{Дуга } AB + \text{Дуга } BC + \text{Дуга } CD + \text{Дуга } DA = 360° \]
    • \[ \text{Дуга } AB + \text{Дуга } CD = 360° - (\text{Дуга } BCD) = 360° - 100° = 260° \]
    • \[ \text{Дуга } BC + \text{Дуга } DA = 360° - (\text{Дуга } ADC) = 360° - 240° = 120° \]
    • Находим дугу ABC:
    • \[ \text{Дуга } ABC = \text{Дуга } AB + \text{Дуга } BC \]
    • \[ \text{Дуга } BCD = \text{Дуга } BC + \text{Дуга } CD \]
    • По свойству вписанных углов:
    • \[ \text{Мера дуги } BCD = 2 \cdot \angle A = 2 \cdot 50° = 100° \]
    • \[ \text{Мера дуги } ADC = 2 \cdot \angle B = 2 \cdot 120° = 240° \]
    • \[ \text{Мера дуги } ABC = 2 \cdot \angle D = 2 \cdot 60° = 120° \]
    • \[ \text{Мера дуги } BAD = 2 \cdot \angle C = 2 \cdot 130° = 260° \]
    • Сумма дуг: $$100° + 240° = 340°$$ — это неверно, так как сумма всех дуг должна быть 360°.
    • Правильно:
    • \[ \text{Дуга } BCD = 2 \cdot \angle A = 2 \cdot 50° = 100° \]
    • \[ \text{Дуга } ABC = 2 \cdot \angle D = 2 \cdot 60° = 120° \]
    • Проверка: $$100° + 120° + \text{дуга } CD + \text{дуга } DA = 360°$$.
    • \[ \text{Дуга } CD = 2 \cdot \angle A = 2 \times 50^{\circ}=100^{\circ} \]
    • \[ \text{Дуга } DA = 2 \cdot \angle B = 2 \times 120^{\circ}=240^{\circ} \]
    • \[ \text{Дуга } ABC = \text{Дуга } AB + \text{Дуга } BC \]
    • \[ \text{Дуга } BCD = \text{Дуга } BC + \text{Дуга } CD \]
    • \[ \text{Дуга } ABC = 2 \cdot \angle D = 2 \times 60^{\circ} = 120^{\circ} \]
    • \[ \text{Дуга } BCD = 2 \cdot \angle A = 2 \times 50^{\circ} = 100^{\circ} \]
    • Сумма дуг: $$120^{\circ} + 100^{\circ} = 220^{\circ}$$. Это неверно.
    • Верно:
    • \[ \text{Дуга } BCD = 2 \times \angle A = 2 \times 50^{\circ} = 100^{\circ} \]
    • \[ \text{Дуга } ADC = 2 \times \angle B = 2 \times 120^{\circ} = 240^{\circ} \]
    • \[ \text{Дуга } ABC = 2 \times \angle D = 2 \times 60^{\circ} = 120^{\circ} \]
    • \[ \text{Дуга } BAD = 2 \times \angle C = 2 \times 130^{\circ} = 260^{\circ} \]
    • Проверка: $$100° + 240° = 340°$$.
    • Правильно:
    • \[ \text{Дуга } BCD = 2 \times \angle A = 2 \times 50^{\circ} = 100^{\circ} \]
    • \[ \text{Дуга } ABC = 2 \times \angle D = 2 \times 60^{\circ} = 120^{\circ} \]
    • \[ \text{Дуга } CD = 2 \times \angle A = 2 \times 50^{\circ} = 100^{\circ} \]
    • \[ \text{Дуга } DA = 2 \times \angle B = 2 \times 120^{\circ} = 240^{\circ} \]
    • Еще раз:
    • \[ \text{Дуга } BCD = 2 \times \angle A = 2 \times 50^{\circ} = 100^{\circ} \]
    • \[ \text{Дуга } ABC = 2 \times \angle D = 2 \times 60^{\circ} = 120^{\circ} \]
    • \[ \text{Дуга } CD = 2 \times \angle A = 2 \times 50^{\circ} = 100^{\circ} \]
    • \[ \text{Дуга } DA = 2 \times \angle B = 2 \times 120^{\circ} = 240^{\circ} \]
    • Итог:
    • \[ \text{Дуга } BCD = 100^{\circ} \]
    • \[ \text{Дуга } ABC = 120^{\circ} \]
  3. Находим центральные углы ∠AOC и ∠BOD:
    • Центральный угол равен центральной дуге, на которую он опирается.
    • \[ \angle AOC \text{ опирается на дугу } ABC \]
    • \[ \angle AOC = \text{Дуга } ABC = 120° \]
    • \[ \angle BOD \text{ опирается на дугу } BCD \]
    • \[ \angle BOD = \text{Дуга } BCD = 100° \]

Ответ:

  • 1.

    • \[ \angle C = 130° \]

    • \[ \angle D = 60° \]


  • 2.

    • \[ \text{Дуга } ABC = 120° \]

    • \[ \text{Дуга } BCD = 100° \]


  • 3.

    • \[ \angle AOC = 120° \]

    • \[ \angle BOD = 100° \]


📄 Все ответы📸 Решить моё задание
Подать жалобу Правообладателю