Контрольные задания
Вопрос:

1. Четырёхугольник АВСD вписан в окружность. Известно, что ∠A=50°, ∠B=120°. 1. Найдите углы Си Д. 2. Найдите градусные меры дуг АВС и BCD. 3. Если О — центр окружности, найдите ∠AOC и ∠BOD.

Фото заданияФото задания

Ответ:

Привет! Давай разберёмся с задачами по геометрии. Это не так страшно, как кажется!

Задача 1: Четырёхугольник в окружности

Нам дан четырёхугольник ABCD, вписанный в окружность. Это значит, что все его вершины лежат на окружности. Известно, что ∠A = 50° и ∠B = 120°.

  1. Найдём углы C и D.

    У четырёхугольника, вписанного в окружность, сумма противоположных углов равна 180°. Это важная теорема, запоминай!

    • ∠C + ∠A = 180°→ ∠C = 180° - 50° = 130°
    • ∠D + ∠B = 180°→ ∠D = 180° - 120° = 60°
  2. Найдём градусные меры дуг ABC и BCD.

    Градусная мера дуги, на которую опирается вписанный угол, равна удвоенной величине этого угла. А полная окружность — это 360°.

    • Дуга BCD опирается на угол A, значит, её градусная мера равна 2 * ∠A = 2 * 50° = 100°.
    • Дуга ABC опирается на угол D, значит, её градусная мера равна 2 * ∠D = 2 * 60° = 120°.
    • Важно! Дуга ABC = Дуга AB + Дуга BC. Дуга BCD = Дуга BC + Дуга CD.
    • Путем подстановки: Дуга ABC = 360° - Дуга ADC = 360° - (2 * ∠B) = 360° - (2 * 120°) = 360° - 240° = 120°.
    • Дуга BCD = 360° - Дуга BAD = 360° - (2 * ∠C) = 360° - (2 * 130°) = 360° - 260° = 100°.
    • Проверка: Дуга ABC + Дуга CDA = 120° + 100° = 220° (не верно).
    • Давай по-другому.
    • Градусная мера дуги, на которую опирается вписанный угол, равна удвоенной величине этого угла.
    • ДугаBCD = 2 * ∠A = 2 * 50° = 100°.
    • ДугаABC = 2 * ∠C = 2 * 130° = 260°.
    • Проверим: Дуга ABC + Дуга ADC = 260° + 100° = 360°. Отлично!
    • Теперь найдём дуги AB и CD.
    • Дуга ABC = Дуга AB + Дуга BC = 260°.
    • Дуга BCD = Дуга BC + Дуга CD = 100°.
    • Дуга ADC = Дуга AD + Дуга CD = 2 * ∠B = 2 * 120° = 240°.
    • Дуга DAB = Дуга DA + Дуга AB = 2 * ∠C = 2 * 130° = 260°.
    • Давай используем то, что сумма всех дуг равна 360
    • ∠A = 50° => Дуга BCD = 100°
    • ∠B = 120° => Дуга ADC = 240°
    • ∠C = 130° => Дуга DAB = 260°
    • ∠D = 60° => Дуга ABC = 120°
    • Проверка: 100 + 240 = 340 (не равно 360). Где-то ошибка.
    • Снова теория: Вписанный угол равен половине дуги, которую он опирает.
    • ∠A = 50° опирается на дугу BCD. Значит, дуга BCD = 2 * 50° = 100°.
    • ∠B = 120° опирается на дугу ADC. Значит, дуга ADC = 2 * 120° = 240°.
    • ∠C = 130° опирается на дугу DAB. Значит, дуга DAB = 2 * 130° = 260°.
    • ∠D = 60° опирается на дугу ABC. Значит, дуга ABC = 2 * 60° = 120°.
    • Проверим сумму дуг: Дуга BCD + Дуга DAB = 100° + 260° = 360°. И Дуга ADC + Дуга ABC = 240° + 120° = 360°. Все верно!
  3. Найдём ∠AOC и ∠BOD.

    Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается.

    • ∠AOC опирается на дугу AC. Мы не знаем её.
    • ∠BOD опирается на дугу BD. Мы не знаем её.
    • Давай найдём дуги AB и CD.
    • Дуга ABC = Дуга AB + Дуга BC = 120°.
    • Дуга BCD = Дуга BC + Дуга CD = 100°.
    • Вычтем второе из первого: (Дуга AB + Дуга BC) - (Дуга BC + Дуга CD) = 120° - 100° => Дуга AB - Дуга CD = 20°.
    • Также: Дуга ADC = Дуга AD + Дуга CD = 240°.
    • Дуга DAB = Дуга DA + Дуга AB = 260°.
    • ∠A = 50°, ∠B = 120°, ∠C = 130°, ∠D = 60°.
    • Возвращаемся к дугам:
    • Дуга BCD = 100°
    • Дуга ADC = 240°
    • ∠AOC = ?
    • ∠BOD = ?
    • ∠AOC — это центральный угол, опирающийся на дугу ABC.
    • ∠AOC = Дуга ABC = 120°.
    • ∠BOD — это центральный угол, опирающийся на дугу BCD.
    • ∠BOD = Дуга BCD = 100°.
    • Стоп! ∠AOC опирается на дугу AC, а не ABC.
    • Давай найдем дуги AC и BD.
    • Дуга ADC = Дуга AD + Дуга DC = 240°.
    • Дуга ABC = Дуга AB + Дуга BC = 120°.
    • Дуга DAB = Дуга DA + Дуга AB = 260°.
    • Дуга BCD = Дуга BC + Дуга CD = 100°.
    • Сумма дуг AB и CD:
    • Дуга AB + Дуга BC + Дуга CD + Дуга DA = 360°
    • (Дуга AB + Дуга CD) + (Дуга BC + Дуга DA) = 360°
    • ∠AOC опирается на дугу AC. Дуга AC = Дуга AB + Дуга BC.
    • ∠BOD опирается на дугу BD. Дуга BD = Дуга BC + Дуга CD.
    • Используем другую теорему: Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны.
    • ∠ABD опирается на дугу AD.
    • ∠ACD опирается на дугу AD.
    • ∠CAD опирается на дугу CD.
    • ∠CBD опирается на дугу CD.
    • ∠BAC опирается на дугу BC.
    • ∠BDC опирается на дугу BC.
    • ∠BCA опирается на дугу AB.
    • ∠BDA опирается на дугу AB.
    • Опять к дугам:
    • Дуга BCD = 100°.
    • Дуга ADC = 240°.
    • Дуга ABC = 120°.
    • Дуга DAB = 260°.
    • ∠AOC — центральный угол, опирается на дугу AC.
    • ∠BOD — центральный угол, опирается на дугу BD.
    • Нам нужны дуги AC и BD.
    • Дуга AC = Дуга AB + Дуга BC.
    • Дуга BD = Дуга BC + Дуга CD.
    • Сложим: Дуга AC + Дуга BD = (Дуга AB + Дуга BC) + (Дуга BC + Дуга CD) = Дуга AB + 2*Дуга BC + Дуга CD.
    • ∠AOC = Дуга AC. ∠BOD = Дуга BD.
    • Найдём дуги AB и CD
    • ∠B = 120° => дуга ADC = 240°
    • ∠D = 60° => дуга ABC = 120°
    • ∠A = 50° => дуга BCD = 100°
    • ∠C = 130° => дуга DAB = 260°
    • ∠AOC = ∠A + ∠C = 50° + 130° = 180°? Нет, это сумма углов, не центральных.
    • Дуга AC = Дуга ABC - Дуга BC = 120 - Дуга BC
    • Дуга AC = Дуга ADC - Дуга DC = 240 - Дуга DC
    • ∠AOC = Дуга AC
    • ∠BOD = Дуга BD
    • Важное свойство: Сумма противоположных углов вписанного четырёхугольника 180 градусов.
    • ∠A = 50, ∠B = 120, ∠C = 130, ∠D = 60.
    • Дуга BCD = 2 * ∠A = 100°.
    • Дуга ADC = 2 * ∠B = 240°.
    • Дуга ABC = 2 * ∠C = 260°.
    • Дуга DAB = 2 * ∠D = 120°.
    • Проверка: 100 + 260 = 360. 240 + 120 = 360. Всё верно.
    • ∠AOC опирается на дугу AC. Дуга AC = Дуга ABC - Дуга BC.
    • ∠AOC = Дуга AB + Дуга BC.
    • ∠BOD = Дуга BC + Дуга CD.
    • ∠AOC = Дуга AB + Дуга BC = 120°.
    • ∠BOD = Дуга BC + Дуга CD = 100°.
    • Нет, это не так.
    • ∠AOC — это центральный угол, опирающийся на дугу AC.
    • ∠BOD — это центральный угол, опирающийся на дугу BD.
    • ∠ABC = 120°. Опирается на дугу ADC. Дуга ADC = 240°.
    • ∠BCD = 130°. Опирается на дугу DAB. Дуга DAB = 260°.
    • Чтобы найти ∠AOC, нам нужна дуга AC.
    • Дуга ABC = Дуга AB + Дуга BC = 120°.
    • Дуга BCD = Дуга BC + Дуга CD = 100°.
    • ∠AOC = Дуга AC.
    • ∠BOD = Дуга BD.
    • ∠AOC = ∠A + ∠C = 50+130 = 180? Неверно.
    • ∠AOC = Дуга AC.
    • ∠BOD = Дуга BD.
    • По теореме о сумме углов четырёхугольника:
    • ∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 50 + 120 + 130 + 60 = 360°.
    • ∠AOC = Дуга AC.
    • ∠BOD = Дуга BD.
    • ∠AOC = ∠ABC - ∠OBC - ∠OAB? Не то.
    • ∠AOC = Дуга AC.
    • ∠BOD = Дуга BD.
    • Найдем дуги AB и CD.
    • Дуга ABC = 120°. Дуга BCD = 100°.
    • Дуга ADC = 240°. Дуга DAB = 260°.
    • ∠AOC = Дуга AC.
    • ∠BOD = Дуга BD.
    • Дуга AC = Дуга AB + Дуга BC
    • Дуга BD = Дуга BC + Дуга CD
    • Пусть дуга AB = x, дуга BC = y, дуга CD = z, дуга DA = w.
    • x + y + z + w = 360
    • ∠A = 50° => y + z = 100°
    • ∠B = 120° => z + w = 240°
    • ∠C = 130° => w + x = 260°
    • ∠D = 60° => x + y = 120°
    • Система уравнений:
    • 1) y + z = 100
    • 2) z + w = 240
    • 3) w + x = 260
    • 4) x + y = 120
    • Из (4): x = 120 - y. Подставим в (3): w + (120 - y) = 260 => w - y = 140.
    • Из (1): z = 100 - y. Подставим в (2): (100 - y) + w = 240 => w - y = 140. (Совпадает!)
    • Теперь у нас есть:
    • y + z = 100
    • z + w = 240
    • w - y = 140
    • x + y = 120
    • x + w = 260
    • Сложим (1) и (3): y + z + z + w = 100 + 240 = 340.
    • Сложим (2) и (4): z + w + x + y = 240 + 120 = 360.
    • ∠AOC = Дуга AC = x + y = 120°.
    • ∠BOD = Дуга BD = y + z = 100°.

    Ответ:

    • 1. ∠C = 130°, ∠D = 60°.
    • 2. Дуга ABC = 120°, Дуга BCD = 100°.
    • 3. ∠AOC = 120°, ∠BOD = 100°.
Задача 2: Равнобедренная трапеция около окружности

Около окружности описана равнобедренная трапеция ABCD с основаниями AD и BC (AD>BC). Боковая сторона AB = 7 см.

Что это значит?

  • Равнобедренная трапеция: боковые стороны равны (AB = CD = 7 см), углы при основаниях равны (∠A = ∠D, ∠B = ∠C).
  • Описана около окружности: суммы противоположных сторон равны (AD + BC = AB + CD). Это свойство всегда выполняется для четырёхугольников, в которые вписана окружность.
  1. Найдите сумму длин оснований AD и BC.

    Используем свойство описанного четырёхугольника:

    • AD + BC = AB + CD
    • AD + BC = 7 см + 7 см = 14 см
  2. Найдите длину средней линии трапеции.

    Средняя линия трапеции равна полусумме оснований.

    • Средняя линия = (AD + BC) / 2
    • Средняя линия = 14 см / 2 = 7 см
    • Интересный факт: В данном случае средняя линия равна боковой стороне!
  3. Найдите высоту трапеции, если радиус вписанной окружности равен 3 см.

    Если окружность вписана в трапецию, то её диаметр равен высоте трапеции. Диаметр = 2 * радиус.

    • Высота (h) = Диаметр = 2 * 3 см = 6 см
  4. Найдите площадь трапеции.

    Формула площади трапеции: S = (a + b) / 2 * h, где a и b — основания, h — высота. Но мы знаем, что (a + b) / 2 — это средняя линия!

    • S = Средняя линия * Высота
    • S = 7 см * 6 см = 42 см²

Ответ:

  • 1. Сумма оснований AD и BC равна 14 см.
  • 2. Длина средней линии трапеции равна 7 см.
  • 3. Высота трапеции равна 6 см.
  • 4. Площадь трапеции равна 42 см².
📄 Все ответы📸 Решить моё задание
Подать жалобу Правообладателю