1. Четырёхугольники ABCD и AMKD — параллелограммы (рис. 36). Докажите, что четырёхугольник BMKC — параллелограмм.

Так как ABCD — параллелограмм, то его противоположные стороны параллельны: \(BC \parallel AD\).

Так как AMKD — параллелограмм, то \(MK \parallel AD\).

Следовательно, две прямые, параллельные одной и той же прямой, параллельны между собой:

\(BC \parallel MK\).

Кроме того, в параллелограммах имеем равенства векторов \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\) и \(\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{DK}\). Поэтому

\(\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AM}=-\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AM}\),

а

\(\overrightarrow{CK}=\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DK}=-\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{DK}=-\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AM}\).

Значит, \(\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{CK}\), поэтому \(BM \parallel CK\).

В четырёхугольнике BMKC противоположные стороны попарно параллельны: \(BC \parallel MK\) и \(BM \parallel CK\). Следовательно, BMKC — параллелограмм.

Ответ: четырёхугольник BMKC — параллелограмм.