1. Числа $a$ и $b$ удовлетворяют равенству $\dfrac{a^2b^2}{a^4-6b^4}=1$. Найдите значение выражения $\dfrac{a^2-b^2}{a^2+b^2}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 1. Числа $a$ и $b$ удовлетворяют равенству $\dfrac{a^2b^2}{a^4-6b^4}=1$. Найдите значение выражения…$ Фото задания

Accepted Answer

Обозначим $x=\dfrac{a^2}{b^2}$. Из исходного равенства следует, что $b\ne0$, поэтому деление на $b^4$ допустимо.

Тогда $\dfrac{x}{x^2-6}=1$, откуда $x^2-x-6=0$.

Разложим на множители: $(x-3)(x+2)=0$. Так как $x=\dfrac{a^2}{b^2}\ge0$, получаем $x=3$.

Искомое выражение равно $\dfrac{x-1}{x+1}=\dfrac{3-1}{3+1}=\dfrac12$.

Ответ: $\dfrac12$.

1. Числа \(a\) и \(b\) удовлетворяют равенству \(\dfrac{a^2b^2}{a^4-6b^4}=1\). Найдите значение выражения \(\dfrac{a^2-b^2}{a^2+b^2}\).