1. Число 9801 представили в виде разности квадратов двух натуральных чисел x и y: 9801 = x² − y². Сколькими способами это можно сделать?

Разложим разность квадратов на множители: 9801 = (x − y)(x + y). Число 9801 нечётное, поэтому оба множителя — нечётные натуральные числа. Кроме того, x − y < x + y.

Разложение числа на простые множители: 9801 = 3⁴ · 11². Его положительные делители, меньшие 99, — 1, 3, 9, 11, 27, 33 и 81. Каждому из них соответствует ровно одна пара множителей (x − y, x + y), произведение которых равно 9801.

Равные множители 99 и 99 не подходят: они дали бы y = 0, а y должно быть натуральным положительным числом.

Ответ: 7 способов.