1. Дан четырёхугольник ABCD, в котором AB=BC и AD=DC. Такой четырёхугольник называется дельтоидом. а) Дайте словесное описание дельтоида. б) Найдите и перечислите свойства дельтоида. в) Найдите и перечислите признаки дельтоида. г) Придумайте признак ромба, выделяющий его из семейства дельтоидов. д) Может ли дельтоид иметь ровно: один, два, три, четыре прямых угла? Сделайте рисунки для каждого возможного случая.

а) Определение. Дельтоид — четырёхугольник, у которого две пары равных сторон являются соседними: в данном обозначении AB=BC и AD=DC.

б) Свойства.

1. Диагональ BD является осью симметрии дельтоида.
2. Диагональ BD делит углы B и D пополам.
3. Диагонали AC и BD перпендикулярны, причём BD делит AC пополам.
4. Противоположные углы A и C равны.
5. Диагональ BD делит дельтоид на два равных треугольника ABD и CBD.

Например, равенство треугольников ABD и CBD следует из AB=BC, AD=DC и общей стороны BD.

в) Признаки.

1. Четырёхугольник является дельтоидом, если две пары его соседних сторон равны.
2. Для выпуклого четырёхугольника достаточно, чтобы одна диагональ была серединным перпендикуляром к другой: тогда концы второй диагонали равноудалены от концов первой, и получаются две пары равных соседних сторон.

г) Признак ромба среди дельтоидов. Если у дельтоида равны две стороны, не входящие в одну пару равных соседних сторон, то все четыре его стороны равны, поэтому он является ромбом. Иными словами, для дельтоида достаточно равенства AB=AD: вместе с AB=BC и AD=DC это даёт AB=BC=CD=DA.

д) Число прямых углов. В выпуклом дельтоиде углы A и C равны, поэтому прямой угол среди них встречается сразу дважды. Ровно один или ровно три прямых угла невозможны. Возможны два или четыре. Для четырёх прямых углов дельтоид должен быть квадратом.

В рисунках стороны дельтоидов показаны схематически; равенство соседних сторон обозначено одинаковыми штрихами.

Ответ: ровно 1 или 3 прямых угла у выпуклого дельтоида быть не может; ровно 2 и ровно 4 — могут.