№1. Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁. Точка М лежит на ребре DD₁. Точка N лежит на ребре CC₁. Точка K лежит на ребре BB₁. Назовите: а) плоскости, в которых лежат точки M, N, K; б) плоскости, в которых лежат прямые MN, KN, KB, MD; в) прямые, по которым пересекаются плоскости AA₁D₁ и ACD, BB₁C₁ и ADC, AA₁D₁ и BB₁C₁.

Решение:

а) Плоскости, в которых лежат точки M, N, K:

• Плоскость AA₁D₁ содержит точку M (лежит на DD₁).
• Плоскость BB₁C₁ содержит точку K (лежит на BB₁).
• Плоскость CC₁D₁ содержит точку N (лежит на CC₁).

б) Плоскости, в которых лежат прямые MN, KN, KB, MD:

• Прямая MN лежит в плоскости DD₁C₁C.
• Прямая KN лежит в плоскости BB₁C₁C.
• Прямая KB лежит в плоскости BB₁C₁C.
• Прямая MD лежит в плоскости AA₁D₁D.

в) Прямые, по которым пересекаются плоскости:

• Плоскости AA₁D₁ и ACD пересекаются по прямой AD.
• Плоскости BB₁C₁ и ADC пересекаются по прямой BC.
• Плоскости AA₁D₁ и BB₁C₁ пересекаются по прямой, параллельной AD и BC (например, можно назвать ее прямой, проходящей через M и K, если M и K выбраны так, что MK || AD || BC). В общем случае, прямая пересечения будет параллельна AD и BC.

Ответ: а) AA₁D₁, BB₁C₁, CC₁D₁; б) DD₁C₁C, BB₁C₁C, AA₁D₁D; в) AD, BC, прямая, параллельная AD и BC.