1. Дан параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁. M и N — середины рёбер DC и A₁B₁. а) Постройте точки пересечения прямых AM и AN с плоскостью грани BB₁C₁C. б) Постройте линию пересечения плоскостей AMN и BB₁C₁C.

Обозначим точки пересечения прямых AM и AN с плоскостью грани BB₁C₁C соответственно X и Y.

а) Точка X. В грани ABCD отрезок AM — медиана треугольника ADC: M — середина DC. Продолжим AM за точку M до пересечения с прямой BC в точке X. По теореме о средней линии (или из подобия треугольников) получается BX = 2 · BC. Значит, X принадлежит прямой BC, а следовательно — плоскости грани BB₁C₁C.

Для прямой AN рассмотрим грань ABB₁A₁. N — середина A₁B₁, поэтому в треугольнике AA₁B₁ медиана AN при продолжении пересекает прямую BB₁ в точке Y. По свойству медианы AY = 2 · AN, то есть BY = BB₁. Итак, Y — точка прямой BB₁, принадлежащая плоскости грани.

б) Точки X и Y принадлежат плоскости AMN и плоскости BB₁C₁C. Поэтому их прямая XY и есть линия пересечения этих плоскостей.

Схема условная; при построении X откладывают на продолжении BC, а Y — на прямой BB₁.

Ответ: а) X = AM ∩ BC, Y = AN ∩ BB₁; б) линия пересечения плоскостей — XY.