1. Дан правильный тетраэдр SABC. Найдите \(\cos\alpha\), где угол \(\alpha\) — между ребром AC и высотой грани CBS, опущенной из вершины B.

Обозначим через H основание высоты грани CBS, опущенной из B на SC. В равностороннем треугольнике BSC высота BH является также медианой, поэтому H — середина SC.

Введём координаты: A=(0,0,0), C=(a,0,0), B=(a/2,√3a/2,0), S=(a/2,√3a/6,√(2/3)a), где a — ребро правильного тетраэдра. Тогда H=(S+C)/2=(3a/4,√3a/12,√(2/3)a/2).

Направляющие векторы прямых AC и BH можно взять такими: u=(1,0,0), v=H−B=(a/4,−5√3a/12,√(2/3)a/2). Следовательно, u·v=a/4, |u|=1 и |v|=a√(2/3).

По формуле косинуса угла между прямыми получаем \(\cos\alpha=\frac{|u\cdot v|}{|u||v|}=\frac{a/4}{a\sqrt{2/3}}=\frac{\sqrt6}{8}\).

Ответ: \(\frac{\sqrt6}{8}\).