1. Дан правильный тетраэдр SABC. Найдите \(\sqrt{3\cdot\cos \alpha}\), где угол \(\alpha\) — угол между ребром AC и высотой грани CSB, опущенной из вершины B.

Обозначим через M основание высоты грани CSB, опущенной из вершины B. Так как грань CSB — равносторонний треугольник, M — середина ребра CS.

Пусть ребро тетраэдра равно 1. Введём координаты:

\(C=(0,0,0)\), \(S=(1,0,0)\), \(B=\left(\frac12,\frac{\sqrt3}{2},0\right)\), \(A=\left(\frac12,\frac{\sqrt3}{6},\sqrt{\frac23}\right)\).

Тогда \(M=\left(\frac12,0,0\right)\).

Направляющие векторы:

\(\overrightarrow{AC}=\left(-\frac12,-\frac{\sqrt3}{6},-\sqrt{\frac23}\right)\),

\(\overrightarrow{BM}=\left(0,-\frac{\sqrt3}{2},0\right)\).

Их скалярное произведение:

\[\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BM}=\frac14.\]

Длины векторов: \(|AC|=1\), \(|BM|=\frac{\sqrt3}{2}\). Поэтому

\[\cos\alpha=\frac{\frac14}{1\cdot\frac{\sqrt3}{2}}=\frac{1}{2\sqrt3}=\frac{\sqrt3}{6}.\]

Следовательно,

\[\sqrt{3\cos\alpha}=\sqrt{3\cdot\frac{\sqrt3}{6}}=\sqrt{\frac{\sqrt3}{2}}=\frac{\sqrt[4]{3}}{\sqrt2}.\]

Ответ: \(\frac{\sqrt[4]{3}}{\sqrt2}\).