1. Дан правильный тетраэдр SABC. Найдите \(\sqrt{3\cos A}\), где угол A — между ребром AC и высотой грани CBS, опущенной из вершины B.

Обозначим через M основание высоты грани CBS, проведённой из B. Так как CBS — равносторонний треугольник, M — середина CS, а BM = \(\frac{\sqrt{3}}{2}a\), где a — ребро тетраэдра.

В правильном тетраэдре проекция вершины A на плоскость CBS — центр грани CBS. Поэтому проекция AC на направление BM имеет длину \(\frac{a\sqrt{3}}{6}\). Следовательно, \(\cos A=\frac{a\sqrt{3}/6}{a}=\frac{\sqrt{3}}{6}\).

Тогда \(\sqrt{3\cos A}=\sqrt{3\cdot\frac{\sqrt{3}}{6}}=\sqrt{\frac{\sqrt{3}}{2}}\).

Ответ: \(\sqrt{\frac{\sqrt{3}}{2}}\).