№1. Дан прямоугольник ABCD. Диагонали пересекаются в точке O. ∠ABO = 36°. Найдите углы треугольника AOD.

В прямоугольнике диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам, поэтому OA = OD. Треугольник AOD равнобедренный.

Угол между диагональю BD и стороной AB равен 36°. Так как AB ∥ CD, угол между BD и CD также равен 36°. Угол между диагоналями, образующий ∠AOD, равен 180° − 2 · 36° = 108°? Уточним по расположению лучей: вертикальные углы при пересечении диагоналей попарно равны, а смежный с ними угол равен 180° − 2 · 36° = 108°. Для треугольника AOD угол при O — смежный угол к этому, то есть 72°.

Тогда равные углы при основании: (180° − 72°) : 2 = 54°.

Ответ: ∠OAD = 54°, ∠AOD = 72°, ∠ADO = 54°.