1. Дан прямоугольник ABCD, в котором AB = 3 см, AD = 4 см. Отрезок MA = 1 см перпендикулярен к плоскости ABCD. Пользуясь рисунком, найдите: 1) расстояние между точками M и B; 2) длину отрезка MD; 3) расстояние между точками A и C; 4) длину отрезка BD; 5) расстояние между точками M и C; 6) площадь треугольника MAC.

1. Так как MA перпендикулярен плоскости ABCD, то MA перпендикулярен AB. По теореме Пифагора: \(MB=\sqrt{MA^2+AB^2}=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}\) см.
2. MA перпендикулярен AD, поэтому \(MD=\sqrt{MA^2+AD^2}=\sqrt{1^2+4^2}=\sqrt{17}\) см.
3. В прямоугольнике диагональ AC равна \(AC=\sqrt{AB^2+AD^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5\) см.
4. Диагонали прямоугольника равны, следовательно, \(BD=AC=5\) см.
5. MA перпендикулярен плоскости ABCD, значит, перпендикулярен AC. Тогда \(MC=\sqrt{MA^2+AC^2}=\sqrt{1^2+5^2}=\sqrt{26}\) см.
6. Треугольник MAC прямоугольный при A, поэтому \(S_{MAC}=\frac12 MA\cdot AC=\frac12\cdot1\cdot5=2.5\) см².

Ответ: 1) \(\sqrt{10}\) см; 2) \(\sqrt{17}\) см; 3) 5 см; 4) 5 см; 5) \(\sqrt{26}\) см; 6) 2,5 см².