1) Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁ (см. чертёж). Докажите, что d² = a² + b² + c².

Рассмотрим пространственную диагональ параллелепипеда d = BD₁.

1. В прямоугольном треугольнике ABD диагональ основания равна: \(BD^2 = AB^2 + AD^2 = b^2 + a^2\).
2. Так как ребро \(DD_1 = c\) перпендикулярно плоскости основания, треугольник \(BDD_1\) прямоугольный. По теореме Пифагора: \(BD_1^2 = BD^2 + DD_1^2\).
3. Подставим выражение для \(BD^2\): \[d^2 = (a^2+b^2)+c^2=a^2+b^2+c^2.\]

Ответ: \(d^2=a^2+b^2+c^2\).