1. Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁. Угол между диагональю параллелепипеда B₁D и диагональю основания BD равен 45°. Угол между диагональю основания BD и стороной BC равен 30°. B₁D = 10√2. Найдите объём параллелепипеда.

Обозначим высоту параллелепипеда через h, а диагональ основания BD — через d.

1. Проекция диагонали B₁D на плоскость основания — BD. Поэтому из угла между ними следует: \(\tan 45^\circ = h/d\), откуда \(h=d\).
2. По теореме Пифагора для диагонали B₁D: \(d^2+h^2=(10\sqrt{2})^2=200\). Так как \(h=d\), получаем \(2d^2=200\), значит \(d=h=10\).
3. Пусть BC = a, а AB = b. В прямоугольном треугольнике BCD угол между BD и BC равен 30°, поэтому \(\tan 30^\circ=b/a=1/\sqrt{3}\), то есть \(b=a/\sqrt{3}\).
4. Из \(a^2+b^2=d^2=100\) следует \(a^2+a^2/3=100\), поэтому \(a=5\sqrt{3}\), \(b=5\). Площадь основания равна \(ab=25\sqrt{3}\).
5. Объём: \(V=25\sqrt{3}\cdot10=250\sqrt{3}\).

Ответ: \(250\sqrt{3}\) куб. ед.