1. Дан прямоугольный треугольник ABC с гипотенузой BC. Постройте вектор p = AB + AC − BC и найдите |p|, если AB = 8 см.

Так как ABC — прямоугольный треугольник с гипотенузой BC, прямой угол находится при A. По правилу сложения векторов:

\(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}\), поскольку \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{CB}\).

Тогда \(\vec p=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{BC}=2\overrightarrow{AC}\), поэтому \(|\vec p|=2|AC|\).

Длины катетов прямоугольного треугольника связаны теоремой Пифагора: \(BC^2=AB^2+AC^2\). Известно только \(AB=8\) см; длина BC или AC не дана, поэтому определить численное значение \(|\vec p|\) нельзя.

Ответ: \(\vec p=2\overrightarrow{AC}\), \(|\vec p|=2AC\); численное значение найти нельзя без длины второго катета или гипотенузы.