1. Дан прямоугольный треугольник АВС с гипотенузой АС = 13 см и катетом ВС = 5 см. Отрезок SA = 12 см, – перпендикуляр к плоскости АВС. а) Найдите | AS + SC + CB | ; б) Найдите угол между прямой SB и плоскостью АВС.

Решение:

1. а) Находим длину отрезка SC:

   По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике ABC:

   \[AC^2 = AB^2 + BC^2\]\[13^2 = AB^2 + 5^2\]\[169 = AB^2 + 25\]\[AB^2 = 169 - 25 = 144\]\[AB = \sqrt{144} = 12\) см.
2. Находим длину отрезка SC:

   По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике SBC:

   \[SC^2 = SB^2 + BC^2\]

   Для этого сначала найдем SB. Так как SA перпендикулярно плоскости ABC, то SA перпендикулярно AB.

   \[SB^2 = SA^2 + AB^2\]\[SB^2 = 12^2 + 12^2 = 144 + 144 = 288\]\[SB = \sqrt{288} = 12\sqrt{2}\) см.
3. Теперь находим SC:

   По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике SBC:

   \[SC^2 = SB^2 + BC^2\]\[SC^2 = (12\sqrt{2})^2 + 5^2 = 288 + 25 = 313\]\[SC = \sqrt{313}\) см.
4. Вычисляем | AS + SC + CB |:

   AS = 12 см, SC = √313 см, CB = 5 см.

   \[| 12 + \sqrt{313} + 5 | = | 17 + \sqrt{313} | = 17 + \sqrt{313}\) см.
5. б) Находим угол между прямой SB и плоскостью ABC:

   Угол между прямой SB и плоскостью ABC — это угол между прямой SB и ее проекцией на плоскость ABC. Проекцией SB на плоскость ABC является прямая AB (так как SA перпендикулярно плоскости ABC).

   Следовательно, искомый угол — это угол ∠ SBA.

   В прямоугольном треугольнике SAB:

   \[\tan(\angle SBA) = \frac{SA}{AB} = \frac{12}{12} = 1\]\[\angle SBA = \arctan(1) = 45^{\circ}\)

Ответ: а) 17 + √313 см; б) 45°