1. Дан треугольник ABC, M ∈ AB, K ∈ BC, BM:MA = 3:4. Через прямую MK проходит плоскость α, параллельная прямой AC. а) Докажите, что BC:BK = 7:3. б) Найдите длину отрезка MK, если AC = 14 см.

Так как плоскость α проходит через MK и параллельна AC, то прямая MK параллельна AC. Поэтому треугольники BMK и BAC подобны.

Из условия BM:MA = 3:4 следует BM:BA = 3:(3 + 4) = 3:7. По подобию BM:BA = BK:BC = MK:AC.

а) BK:BC = 3:7, поэтому BC:BK = 7:3.

б) MK:AC = 3:7, значит MK = 14 · 3/7 = 6 см.

Ответ: а) BC:BK = 7:3; б) MK = 6 см.