№1. Дан треугольник ABC, в котором AB = 20; AC = 28; медиана AM = 12. Найти третью сторону треугольника BC.

По теореме Аполлония для медианы:

\(AB^2+AC^2=2\left(AM^2+BM^2\right)\), где \(BM=\frac{BC}{2}\).

Подставим данные: \(20^2+28^2=2\left(12^2+\left(\frac{BC}{2}\right)^2\right)\).

\(400+784=288+\frac{BC^2}{2}\), поэтому \(\frac{BC^2}{2}=896\), \(BC^2=1792\).

Так как длина стороны положительна, \(BC=\sqrt{1792}=16\sqrt{7}\).

Ответ: \(BC=16\sqrt{7}\).