№1. Дана функция f(x) = 2x³ + 3x² − 1. Найдите: а) промежутки возрастания и убывания функции; б) наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке [−1; 2].

Рассмотрим функцию \(f(x)=2x^3+3x^2-1\).

а) Промежутки возрастания и убывания

Найдём производную:

\[f'(x)=6x^2+6x=6x(x+1).\]

Критические точки:

\[6x(x+1)=0,\qquad x=-1,\;x=0.\]

Знак производной:

• при \(x\in(-\infty;-1)\): \(f'(x)>0\), функция возрастает;
• при \(x\in(-1;0)\): \(f'(x)<0\), функция убывает;
• при \(x\in(0;+\infty)\): \(f'(x)>0\), функция возрастает.

б) Наибольшее и наименьшее значение на отрезке \([-1;2]\)

Вычислим значения функции в концах отрезка и в критической точке \(x=0\):

\[f(-1)=2(-1)^3+3(-1)^2-1=-2+3-1=0;\]

\[f(0)=2\cdot0^3+3\cdot0^2-1=-1;\]

\[f(2)=2\cdot2^3+3\cdot2^2-1=16+12-1=27.\]

Сравниваем полученные значения: \(-1<0<27\).

Ответ: функция возрастает на \((-\infty;-1)\) и \((0;+\infty)\), убывает на \((-1;0)\); на отрезке \([-1;2]\) наименьшее значение равно \(-1\) при \(x=0\), наибольшее значение равно \(27\) при \(x=2\).