1. Дана функция f(x) = 2x⁴ + x³ - 3. а) найдите промежутки возрастания и убывания функции; б) найдите наибольшее и наименьшее значение функции на промежутке [0; 2].

1. Исследование функции \( f(x) = 2x^4 + x^3 - 3 \)

1. Находим промежутки возрастания и убывания:
   1. Найдем производную функции: \[ f'(x) = (2x^4 + x^3 - 3)' = 8x^3 + 3x^2 \]
   2. Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки: \[ 8x^3 + 3x^2 = 0 \] \[ x^2(8x + 3) = 0 \] Следовательно, \( x^2 = 0 \) или \( 8x + 3 = 0 \). Получаем \( x_1 = 0 \) и \( x_2 = -3/8 \).
   3. Определим знаки производной на интервалах:
      • При \( x < -3/8 \) (например, \( x = -1 \)): \( f'(-1) = (-1)^2(8(-1) + 3) = 1(-8 + 3) = -5 < 0 \). Функция убывает.
      • При \( -3/8 < x < 0 \) (например, \( x = -1/4 \)): \( f'(-1/4) = (-1/4)^2(8(-1/4) + 3) = (1/16)(-2 + 3) = 1/16 > 0 \). Функция возрастает.
      • При \( x > 0 \) (например, \( x = 1 \)): \( f'(1) = 1^2(8(1) + 3) = 1(11) = 11 > 0 \). Функция возрастает.
   4. Вывод: Функция убывает на интервале \( (-\infty; -3/8] \) и возрастает на интервале \( [-3/8; \infty) \).
2. Находим наибольшее и наименьшее значение на промежутке [0; 2]:
   1. Промежуток \( [0; 2] \) полностью входит в интервал возрастания функции, так как \( 0 > -3/8 \).
   2. Следовательно, наименьшее значение функции на данном промежутке будет в начальной точке \( x = 0 \), а наибольшее — в конечной точке \( x = 2 \).
   3. Вычислим значения функции в этих точках:
      • Наименьшее значение: \( f(0) = 2(0)^4 + (0)^3 - 3 = -3 \).
      • Наибольшее значение: \( f(2) = 2(2)^4 + (2)^3 - 3 = 2(16) + 8 - 3 = 32 + 8 - 3 = 37 \).

Ответ: а) Функция убывает на \( (-\infty; -3/8] \), возрастает на \( [-3/8; \infty) \); б) Наименьшее значение равно -3, наибольшее значение равно 37.