1. Дана функция $$f(x) = 3 - |x|$$. Какие из следующих утверждений являются верными: 1) $$5 \in D(f)$$; 2) $$4 \in E(f)$$; 3) $$5 \notin E(f)$$; 4) $$4 \notin D(f)$$?

Решение:

Дана функция $$f(x) = 3 - |x|$$.

1. Область определения $$D(f)$$:

Функция определена для всех действительных чисел, так как модуль $$|x|$$ определён для любого $$x$$. Следовательно, $$D(f) = (-\infty, +\infty)$$.

Проверяем утверждения, связанные с $$D(f)$$:

• 1) $$5 \in D(f)$$: Так как $$D(f)$$ — множество всех действительных чисел, то $$5$$ принадлежит $$D(f)$$. Утверждение верно.
• 4) $$4 \notin D(f)$$: Так как $$D(f)$$ — множество всех действительных чисел, то $$4$$ принадлежит $$D(f)$$. Утверждение неверно.

2. Область значений $$E(f)$$:

Рассмотрим функцию $$f(x) = 3 - |x|$$.

Так как $$|x| \ge 0$$ для любого $$x$$, то $$-|x| \le 0$$.

Следовательно, $$3 - |x| \le 3$$.

Наибольшее значение функции равно $$3$$ (когда $$x = 0$$). Наименьшего значения нет, функция стремится к $$-\infty$$.

Таким образом, область значений $$E(f) = (-\infty, 3]$$.

Проверяем утверждения, связанные с $$E(f)$$:

• 2) $$4 \in E(f)$$: Так как $$E(f) = (-\infty, 3]$$, число $$4$$ не принадлежит этой области значений ($$4 > 3$$). Утверждение неверно.
• 3) $$5 \notin E(f)$$: Так как $$E(f) = (-\infty, 3]$$, число $$5$$ не принадлежит этой области значений ($$5 > 3$$). Утверждение верно.

Верными являются утверждения 1 и 3.

Ответ: 1, 3.