1. Дана призма ABCA₁B₁C₁. Точка M лежит на AB. Постройте: а) точку пересечения прямой A₁M и плоскости (BB₁C₁); б) линию пересечения плоскостей (A₁MC₁) и (BB₁C₁); в) линию пересечения плоскостей (A₁MC₁) и (ABC); г) сечение призмы плоскостью (A₁MC₁).

а) Грань ABB₁A₁ и плоскость (BB₁C₁) пересекаются по прямой BB₁. Так как прямая A₁M лежит в плоскости грани ABB₁A₁, искомая точка — X = A₁M ∩ BB₁.

б) Плоскости (A₁MC₁) и (BB₁C₁) имеют общие точки C₁ и X. Поэтому их линия пересечения — C₁X.

в) В плоскости (A₁MC₁) отрезок A₁C₁ параллелен AC. Через M проведём прямую, параллельную AC. Обозначим её пересечение с BC через N. Тогда линия пересечения плоскостей — MN.

г) На грани ABB₁A₁ сечение проходит по A₁M; на грани BCC₁B₁ — по NC₁; на верхнем основании — по A₁C₁; на нижнем основании — по MN. Следовательно, сечение является четырёхугольником A₁C₁NM.

Построение:

Ответ: а) X = A₁M ∩ BB₁; б) C₁X; в) MN, где MN ∥ AC; г) четырёхугольник A₁C₁NM.