1. Дано: 21 в 3 раза больше 2. Найти: 21 и 22. 2. Дано: AB = BC, 2B = 42°. Найти: 2BCA. 3. Дано: 21 = 22 = 35°, 23 = 72°. Найти: 24. 4. Дано: CO = OD, AO = OB, CB = 12. Найти: AD. 5. Дано: △ ABC, 2C = 90°, 2ABD = 110°, CK ⊥ AB, AN - биссектр. Найти: угол △ AOK.

Задание 1

Дано:

• ∠1 в 3 раза больше ∠2.

Найти: ∠1 и ∠2.

Решение:

Пусть ∠2 = x. Тогда ∠1 = 3x.

Из рисунка видно, что ∠1 и ∠2 - смежные углы, их сумма равна 180° (если они образуют развернутый угол). Однако, по условию и рисунку, эти углы являются частями другого угла или просто заданы соотношением. Предполагая, что эти углы образуют развернутый угол, мы получим:

∠1 + ∠2 = 180°

∤3x + x = 180°

∤4x = 180°

∤x = 180° / 4 = 45°

Значит, ∠2 = 45°.

∠1 = 3 * 45° = 135°.

Ответ: ∠1 = 135°, ∠2 = 45°.

Задание 2

Дано:

• △ AB = BC (треугольник равнобедренный).
• ∠B = 42°.

Найти: ∠BCA.

Решение:

Так как AB = BC, то △ ABC - равнобедренный треугольник. Углы при основании равны, то есть ∠BAC = ∠BCA.

Сумма углов в треугольнике равна 180°:

∠BAC + ∠BCA + ∠B = 180°

Пусть ∠BCA = y. Тогда ∠BAC = y.

∤y + y + 42° = 180°

∤2y = 180° - 42°

∤2y = 138°

∤y = 138° / 2 = 69°

Значит, ∠BCA = 69°.

Ответ: ∠BCA = 69°.

Задание 3

Дано:

• ∠1 = ∠2 = 35°.
• ∠3 = 72°.

Найти: ∠4.

Решение:

Из рисунка видно, что прямые 'a' и 'b' пересечены секущей 'd'. Углы ∠1 и ∠2 являются накрест лежащими при прямых 'a' и 'b' и секущей 'd'. Если бы ∠1 = ∠2, то прямые 'a' и 'b' были бы параллельны. Но в условии дано ∠1 = ∠2 = 35°, что подтверждает параллельность прямых 'a' и 'b'.

Углы ∠3 и ∠4 являются односторонними углами при параллельных прямых 'a' и 'b' и секущей 'c'.

Сумма односторонних углов равна 180°.

∠3 + ∠4 = 180°

∤72° + ∠4 = 180°

∠4 = 180° - 72° = 108°.

Ответ: ∠4 = 108°.

Задание 4

Дано:

• CO = OD.
• AO = OB.
• CB = 12.

Найти: AD.

Решение:

Рассмотрим △ AOC и △ BOD. У нас есть:

• AO = OB (по условию).
• CO = OD (по условию).
• ∠ AOC = ∠ BOD (вертикальные углы).

По двум сторонам и углу между ними (⋆СУ⋆), △ AOC = △ BOD. Следовательно, AC = BD.

Рассмотрим △ AOD и △ BOC.

• AO = OB (по условию).
• DO = CO (по условию).
• ∠ AOD = ∠ BOC (вертикальные углы).

По двум сторонам и углу между ними (⋆СУ⋆), △ AOD = △ BOC.

Следовательно, AD = BC.

Так как BC = 12, то AD = 12.

Ответ: AD = 12.

Задание 5

Дано:

• △ ABC - прямоугольный, ∠C = 90°.
• ∠ABD = 110°.
• CK ⊥ AB (CK - высота).
• AN - биссектриса.

Найти: угол ∠AOK в △ AOK.

Решение:

1. Угол ∠ABC = 180° - ∠ABD = 180° - 110° = 70° (смежные углы).

2. В прямоугольном △ ABC: ∠BAC = 180° - 90° - 70° = 20°.

3. AN - биссектриса, поэтому ∠CAN = ∠NAB = ∠BAC / 2 = 20° / 2 = 10°.

4. В прямоугольном △ ACK: ∠ACK = 90°. ∠CAK = 20°.

5. Рассмотрим △ AOK. Нам нужно найти ∠AOK.

6. В △ AOK, ∠OAK = ∠CAN = 10°.

7. Нам нужно найти ∠AKO или ∠AOK.

8. В △ AKC, ∠AKC = 180° - 90° - 20° = 70°.

9. Угол ∠AKO - это внешний угол △ CKO. Также ∠AKB = 180° - ∠AKC = 180° - 70° = 110°.

10. В △ AKO, ∠AOK = 180° - ∠OAK - ∠AKO. Нам нужно найти ∠AKO.

11. Рассмотрим △ AKB. ∠KAB = 20°, ∠ABK = 70°. ∠AKB = 180° - 20° - 70° = 90°.

12. В △ AOK, ∠OAK = 10°.

13. Точка O - пересечение диагоналей AC и BD. Неверно. O - точка на AB. По рисунку, O - точка пересечения AN и CK. Нет, O - точка на AB, и AN - биссектриса. CK - высота. AN и CK пересекаются в некоторой точке. Но по рисунку, AN пересекает CK в точке O. И AKO - это треугольник.

14. Снова посмотрим на рисунок: CK - высота, AN - биссектриса. Они пересекаются в точке O. Значит, △ AOK - это треугольник, где O - точка пересечения AN и CK. В этом случае ∠OAK = 10°.

15. Нам нужно найти ∠AKO. Угол ∠AKN - это часть ∠AKB. ∠AKB = 90°.

16. В △ ABN: ∠NAB = 10°, ∠ABN = 70°. ∠ANB = 180° - 10° - 70° = 100°.

17. В △ ACK: ∠CAK = 20°, ∠ACK = 90°. ∠AKC = 180° - 90° - 20° = 70°.

18. В △ AOK, ∠OAK = 10°.

19. Угол ∠AOK является внешним углом △ KOC. Нет.

20. Угол ∠AOK является углом треугольника △ AOK.

21. В △ AOK: ∠OAK = 10°.

22. ∠AKO = ∠AKC = 70° (если O лежит на CK).

23. Если O - точка пересечения AN и CK, то:

• В △ AOC, ∠CAO = 20°, ∠ACO = 90°.
• В △ AB C, ∠CAB = 20°, ∠CBA = 70°, ∠BCA = 90°.
• AN - биссектриса ∠CAB, значит ∠CAN = ∠NAB = 10°.
• CK - высота к AB, значит ∠CKA = 90°.
• В △ AKC, ∠CAK = 20°, ∠CKA = 90°, ∠ACK = 180° - 90° - 20° = 70°.

24. В △ AOK: ∠OAK = 10° (так как O лежит на AN).

25. Угол ∠AKO - это часть угла ∠AKC. Если O лежит на CK, то ∠AKO = ∠AKC = 70°.

26. В △ AOK: ∠AOK = 180° - ∠OAK - ∠AKO = 180° - 10° - 70° = 100°.

Ответ: ∠AOK = 100°.