1. Дано: α ∥ β, a ∥ b. Доказать: ABB₁A₁ — параллелограмм.

1. Точки A и A₁ лежат на прямой a, а B и B₁ — на прямой b. Поэтому AA₁ ∥ BB₁, так как a ∥ b.

2. Прямые a и b определяют плоскость. Она пересекает плоскости α и β по прямым AB и A₁B₁ соответственно. Поскольку α ∥ β, эти линии пересечения параллельны: AB ∥ A₁B₁.

В четырёхугольнике ABB₁A₁ обе пары противоположных сторон параллельны. Следовательно, ABB₁A₁ — параллелограмм.