1) Дано: α ∥ β, a ∥ b. Доказать: четырёхугольник ABB₁A₁ — параллелограмм.

Рассмотрим плоскость γ, проходящую через параллельные прямые a и b. Она пересекает плоскости α и β по прямым AB и A₁B₁ соответственно.

1. Так как α ∥ β, линии их пересечения с плоскостью γ параллельны: AB ∥ A₁B₁.
2. По условию a ∥ b, поэтому отрезки AA₁ и BB₁, лежащие на этих прямых, параллельны: AA₁ ∥ BB₁.
3. У четырёхугольника ABB₁A₁ обе пары противоположных сторон параллельны. Следовательно, он является параллелограммом.

Ответ: ABB₁A₁ — параллелограмм.