1. Дано: AB = 114°. Найти: ∠DCA. 2. Дано: ∠CDB = 40°. Найти: ∠ACB. 3. Дано: ∠BCD = 40°. Найти: ∠BAD. 4. Дано: ∠ACB = 80°. Найти: ∠ADB.

Задание 1. Найти ∠DCA

Дано:

• Дуга AB: \( \stackrel{\frown}{AB} = 114^{\circ} \).

Найти: угол ∠DCA.

Решение:

Угол ∠DCA является вписанным углом, который опирается на дугу AD. Для того чтобы найти угол ∠DCA, нам нужно знать величину дуги AD. Пока этой информации недостаточно, чтобы решить задачу.

Ответ: Недостаточно данных для решения.

Задание 2. Найти ∠ACB

Дано:

• Угол ∠CDB = 40°.

Найти: угол ∠ACB.

Решение:

Угол ∠CDB является вписанным углом, опирающимся на дугу CB. Следовательно, величина дуги CB равна удвоенной величине угла ∠CDB: \( \stackrel{\frown}{CB} = 2 \cdot \angle CDB = 2 \cdot 40^{\circ} = 80^{\circ} \).

Угол ∠ACB также является вписанным углом, и он опирается на дугу AB. Чтобы найти ∠ACB, нам нужно знать величину дуги AB. Из предоставленных данных (AB = 114°) мы можем вычислить ∠ACB.

\( \angle ACB = \frac{1}{2} \cdot \stackrel{\frown}{AB} = \frac{1}{2} \cdot 114^{\circ} = 57^{\circ} \).

Ответ: 57°.

Задание 3. Найти ∠BAD

Дано:

• Угол ∠BCD = 40°.

Найти: угол ∠BAD.

Решение:

Четырехугольник ABCD вписан в окружность. В этом случае сумма противоположных углов равна 180°. Следовательно:

\( \angle BAD + \angle BCD = 180^{\circ} \)

\( \angle BAD + 40^{\circ} = 180^{\circ} \)

\( \angle BAD = 180^{\circ} - 40^{\circ} = 140^{\circ} \).

Ответ: 140°.

Задание 4. Найти ∠ADB

Дано:

• Угол ∠ACB = 80°.

Найти: угол ∠ADB.

Решение:

Угол ∠ACB является вписанным углом, опирающимся на дугу AB. Следовательно, величина дуги AB равна удвоенной величине угла ∠ACB: \( \stackrel{\frown}{AB} = 2 \cdot \angle ACB = 2 \cdot 80^{\circ} = 160^{\circ} \).

Угол ∠ADB также является вписанным углом и опирается на ту же дугу AB. Следовательно, его величина равна половине величины дуги AB.

\( \angle ADB = \frac{1}{2} \cdot \stackrel{\frown}{AB} = \frac{1}{2} \cdot 160^{\circ} = 80^{\circ} \).

Ответ: 80°.