1. Дано: ABCD - прямоугольник; ZABD=48°. Найти: ∠COD, ∠CAD.

Решение:

1. В прямоугольнике ABCD диагонали равны и пересекаются в точке O. Треугольник ABD является прямоугольным, так как все углы прямоугольника равны 90°.

В прямоугольном треугольнике ABD: \( \angle BAD = 90° \).

По условию \( \angle ABD = 48° \).

Сумма углов в треугольнике равна 180°. Следовательно, \( \angle ADB = 180° - 90° - 48° = 42° \).

Так как ABCD — прямоугольник, то AB || CD и AD || BC. Диагонали AC и BD пересекаются в точке O.

Рассмотрим треугольник BOC. \( \angle OBC = \angle ADB = 42° \) (как накрест лежащие углы при параллельных BC и AD и секущей BD).

\( \angle OCB = \angle CAD \) (как накрест лежащие углы при параллельных AB и CD и секущей AC).

В прямоугольнике диагонали равны, значит \( AO = BO = CO = DO \). Следовательно, треугольники AOB, BOC, COD, DOA — равнобедренные.

В треугольнике AOD: \( \angle OAD = \angle ODA = 42° \) (так как \( AO = DO \) и \( \angle ADB = 42° \)).

\( \angle CAD \) является частью \( \angle BAD \). В прямоугольнике \( \angle BAD = 90° \).

\( \angle CAD = \angle BAD - \angle OAD = 90° - 42° = 48° \).

Теперь найдем \( \angle COD \). В треугольнике COD: \( CO = DO \) (как половины равных диагоналей).

\( \angle OCD = \angle CAD = 48° \) (так как \( \angle CAD \) и \( \angle OCD \) — накрест лежащие при параллельных AB и CD и секущей AC).

\( \angle ODC = \angle ABD = 48° \) (так как \( \angle ABD \) и \( \angle ODC \) — накрест лежащие при параллельных AB и CD и секущей BD).

В треугольнике COD: \( \angle COD = 180° - (\angle OCD + \angle ODC) = 180° - (48° + 48°) = 180° - 96° = 84° \).

Альтернативный способ найти \( \angle COD \): \( \angle COD \) и \( \angle AOD \) — смежные углы, их сумма равна 180°. В треугольнике AOD \( \angle OAD = 42°, \angle ODA = 42° \). Следовательно, \( \angle AOD = 180° - (42° + 42°) = 180° - 84° = 96° \).

\( \angle COD = 180° - \angle AOD = 180° - 96° = 84° \).

Ответ: \( \angle COD = 84°, \angle CAD = 48° \).