1. Дано: AK = KB; ∠1 = ∠2. Доказать: BM = MC.

Рассмотрим треугольники BKM и BAC. Так как точки A, K, B лежат на одной прямой, а точки B, M, C — на одной прямой, угол KBM равен углу ABC.

По условию ∠1 = ∠2, то есть ∠BMK = ∠BCA. Следовательно, треугольники BKM и BAC подобны по двум углам.

Из подобия соответствующих сторон:

\(\dfrac{BM}{BC}=\dfrac{BK}{BA}\).

Поскольку \(AK=KB\), имеем \(BA=AK+KB=2BK\), поэтому \(\dfrac{BK}{BA}=\dfrac12\). Значит, \(\dfrac{BM}{BC}=\dfrac12\), откуда \(BC=2BM\).

Так как M лежит на отрезке BC, \(BC=BM+MC\). Тогда \(BM+MC=2BM\), следовательно, \(MC=BM\).

Ответ: \(BM=MC\).