1. Дано: ∠АКС = 230°, ∠СВ = 60°, О - центр окружности. Найти: ∠АВ, ∠α, ∠β.

Решение:

1. Центральный угол ∠АОС равен 230°. Это развернутый угол, поэтому он является внешним для треугольника АОС.
2. Вписанный угол ∠АВС, опирающийся на дугу АС, равен половине центрального угла, который опирается на ту же дугу. Угол ∠АОС = 360° - 230° = 130° (меньшая дуга).
3. Следовательно, ∠АВС = 130° / 2 = 65°.
4. Угол ∠СВ = 60° дан в условии, но он не связан с окружностью напрямую. Будем считать, что имеется в виду ∠СОВ. Если ∠СОВ = 60°, то угол ∠АОС = 360° - 230° = 130°.
5. Рассмотрим треугольник АОВ. ОА = ОВ (радиусы), значит, он равнобедренный. Угол ∠АОВ = 230°.
6. Угол ∠АОВ, который опирается на дугу АВ, равен 360° - 230° = 130°.
7. В треугольнике АОВ: ∠ОАВ = ∠ОВА = (180° - 130°) / 2 = 50° / 2 = 25°.
8. Рассмотрим треугольник СОВ. ОС = ОВ (радиусы), значит, он равнобедренный. Угол ∠СОВ = 60° (по условию, предполагая, что ∠СВ = 60° относится к ∠СОВ).
9. В треугольнике СОВ: ∠ОСВ = ∠ОВС = (180° - 60°) / 2 = 120° / 2 = 60°.
10. Угол ∠АВ = ∠ОВА = 25°.
11. Угол ∠α — это угол между касательной и хордой. Угол между касательной и хордой, проведенной из точки касания, равен вписанному углу, опирающемуся на эту хорду.
12. Угол между касательной, проведенной к точке А, и хордой АВ, равен углу ∠АСВ.
13. В треугольнике АОС: ∠ОАС = ∠ОСА = (180° - 130°) / 2 = 25°.
14. Угол ∠АСВ = ∠ОСА + ∠ОСВ = 25° + 60° = 85°.
15. Значит, ∠α = 85°.
16. Угол ∠β — это угол между касательной и хордой ВС. Этот угол равен вписанному углу ∠ВАС.
17. Угол ∠ВАС = ∠ОАС + ∠ОАВ = 25° + 25° = 50°.
18. Значит, ∠β = 50°.

Ответ: ∠АВ = 25°, ∠α = 85°, ∠β = 50°.