1. Дано: ∠ AOB=125°, ∠ AOD=31°, ∠ COB=42°. Найти: ∠ DOC. 2. Дано: ∠1 : ∠2 = 4 : 5. Найти: ∠1, ∠2. 3. Доказать: DB – биссектриса ∠ADC. 4. Найти: AB.

Задание 1

Дано:

• \( ∠ AOB = 125^\circ \)
• \( ∠ AOD = 31^\circ \)
• \( ∠ COB = 42^\circ \)

Найти: \( ∠ DOC \)

Решение:

1. Угол \( ∠ AOC \) равен сумме смежных углов \( ∠ AOD \) и \( ∠ DOC \), но мы не знаем \( ∠ DOC \).
2. Зато мы можем найти \( ∠ AOC \) как часть развернутого угла, если бы A, O, B были на одной прямой. Но они не на прямой.
3. Рассмотрим углы, исходящие из точки O. Весь угол \( ∠ AOB \) состоит из \( ∠ AOD \) и \( ∠ DOB \).
4. \( ∠ DOB = ∠ AOB - ∠ AOD = 125^\circ - 31^\circ = 94^\circ \)
5. Угол \( ∠ DOB \) также состоит из \( ∠ DOC \) и \( ∠ COB \).
6. \( ∠ DOC = ∠ DOB - ∠ COB = 94^\circ - 42^\circ = 52^\circ \)

Ответ: \( ∠ DOC = 52^\circ \).

Задание 2

Дано: \( ∠ 1 : ∠ 2 = 4 : 5 \)

Найти: \( ∠ 1, ∠ 2 \)

Решение:

1. Углы \( ∠ 1 \) и \( ∠ 2 \) являются смежными, так как образуют развернутый угол. Их сумма равна \( 180^\circ \).
2. Пусть \( ∠ 1 = 4x \) и \( ∠ 2 = 5x \), где \( x \) — коэффициент пропорциональности.
3. Тогда \( 4x + 5x = 180^\circ \)
4. \( 9x = 180^\circ \)
5. \( x = \frac{180^\circ}{9} = 20^\circ \)
6. \( ∠ 1 = 4x = 4 × 20^\circ = 80^\circ \)
7. \( ∠ 2 = 5x = 5 × 20^\circ = 100^\circ \)

Ответ: \( ∠ 1 = 80^\circ, ∠ 2 = 100^\circ \).

Задание 3

Дано: На рисунке изображен четырехугольник ABCD, в котором DB является диагональю.

Доказать: DB — биссектриса \( ∠ ADC \)

Решение:

1. На рисунке указано, что стороны AB и BC равны (отмечено двойными штрихами).
2. Также отмечено, что углы \( ∠ 1 \) и \( ∠ 2 \) равны (отмечено одинарными дугами).
3. Если диагональ четырехугольника делит угол пополам, то она является биссектрисой этого угла.
4. Так как \( ∠ ADB = ∠ CDB \) (по условию, \( ∠ 1 = ∠ 2 \)), то DB является биссектрисой \( ∠ ADC \).

Доказано.

Задание 4

Дано: На рисунке изображен треугольник ABC.

• \( ∠ BAC = 125^\circ \)
• \( AC = 5 \) см
• \( ∠ ACB = 65^\circ \)

Найти: AB

Решение:

1. Сумма углов в треугольнике равна \( 180^\circ \).
2. Найдем \( ∠ ABC \): \( ∠ ABC = 180^\circ - ∠ BAC - ∠ ACB \)
3. \( ∠ ABC = 180^\circ - 125^\circ - 65^\circ \)
4. \( ∠ ABC = 180^\circ - 190^\circ = -10^\circ \)
5. Получилось отрицательное значение угла, что невозможно в реальном треугольнике. Вероятно, на рисунке ошибка или условие задачи некорректно.
6. Предположим, что \( ∠ BAC \) — это внешний угол при вершине A. Тогда внутренний угол \( ∠ A = 180^\circ - 125^\circ = 55^\circ \).
7. В этом случае сумма углов будет: \( ∠ B = 180^\circ - 55^\circ - 65^\circ = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ \).
8. Используем теорему синусов: \( \frac{AB}{\sin(∠ ACB)} = \frac{AC}{\sin(∠ ABC)} \)
9. \( \frac{AB}{\sin(65^\circ)} = \frac{5}{\sin(60^\circ)} \)
10. \( AB = \frac{5 × \sin(65^\circ)}{\sin(60^\circ)} \)
11. \( AB ≈ \frac{5 × 0.906}{0.866} ≈ \frac{4.53}{0.866} ≈ 5.23 \) см

Примечание: Если \( 125^\circ \) — это внутренний угол, то задача не имеет решения. Если это внешний угол, то ответ \( AB ≈ 5.23 \) см.

Ответ: AB ≈ 5.23 см (при условии, что 125° - внешний угол).